Türkiye'nin en güncel forumlardan olan forumdas.com.tr'de forumda aktif ve katkısı olabilecek kişilerden gönüllü katkıda sağlayabilecek kişiler aranmaktadır.
Sonlu Elemanlar Prosedürü Gerilim Tahlili
Sonlu elemanlar metodu, karmaşık geometrilerin tahlilinde kullanılan sayısal bir metottur. Bu formülle incelenen bir yapının bir, iki yahut üç boyutlu tahlili yapılabilir. Formülde, değişik biçimlerdeki yapılar modellenir ve birbirlerine düğüm noktalarında birleşen daha kolay geometrik biçimlere (elemanlara) bölünür. Kuvvet dağılımı, her eleman için başka farklı bulunacağından, daha hassas bir tahlil için eleman sayısı çoğaltılır.
Bu formül, matematikçiler tarafından mühendislikte karşılaşılan meselelerin analitik tahlilinde kullanılmak üzere 1940' lı yıllarda geliştirilmiştir. Yol ile ilgili birinci çalışmalar, Hrennikoff ve McHenry tarafından geliştirilen iki boyutlu yarı analitik tahlil metotlarına dayanır. Yolun üç boyutlu sorunlara uygulanması 1964 yılında geliştirilmiştir. 1965 yılında prosedür ile Poisson denklemi çözülmüştür. 1970' de ise sistem, akışkanlar mekaniğine uygulanmıştır. Modeldeki gerilimleri matematiksel olarak elde edebilmek için kimi malumatlar gereklidir. Bunlar;
· Düğüm noktaları ve elemanlarının yekun sayısı ile her bir düğüm noktasını ve elemanı belirlemek için numaralandırma sistemi,
· Her bir elemanla ilgili olarak materyalin elastisite katsayısı ve Poisson orantısı,
· Hudut kuralları tipi ve dış düğümlere uygulanan kuvvetlerin değerlendirilmesidir.
Yol son yıllarda biyomekanik ile ilgilenen araştırmacıların ilgisini çekmesi sonucunda, diş hekimliği sahasında sıkça kullanılmaya başlanmıştır. Yol, iki boyutlu ve üç boyutlu olarak uygulanabilir. İki boyutlu sonlu elemanlar tahlili tatbik kolaylığı nedeniyle tercih edilmektedir.
İki boyutlu modelin tasarrufuyla diş yapısındaki en ince tabakaların (yapıştırıcı siman, mine tabakası, gütta-perka, kesici kenara uzanan porselen yapısı gibi) daha uygun modellenmesinde başarılı olunduğu belirtilmektedir. Ama iki boyutlu sonlu elemanlar modelinin ehliyetsiz kaldığı durumlar laf bahsidir. İnsan dişi bir oldukça sistemsiz bir yapıya sahiptir. Diş yapısındaki farklı materyallerin dağılımı da rastgele bir simetri göstermemektedir. Bu nedenle emniyetli bir tahlil için gerçek boyutları yansıtan üç boyutlu bir model kullanması tercih edilmelidir.
Diş hekimliğinde sonlu elemanlar metodu ile yapılan tahlillerde kullanılan programlar ANSYS, SAP 80, FEMPRO, I-DEAS, NASTRAN, PAFEC 75, MARC ve PATRAN' dır.
a. Sonlu elemanlar sisteminin avantajları
1. Bazen iç içe geçmiş elemanlardaki gereç özellikleri birebir olmayabilir ve bu durum tahlilde sorun yaratabilir. Sonlu elemanlar usulü ile birkaç gerecin birleştirildiği cisimlerde uygulanabilir.
2. Gerçek yapıya çok daha yakın bir model hazırlanabilir,
3. Formül ile düzgün olmayan hadlere sahip haller ve eğri kenarlı elamanlar tahlil edilebilir ve eleman boyutları kullanıcı tarafından basitçe değiştirilebilir. Böylelikle kıymetli değişiklikler beklenen ortamlarda daha küçük elemanlar kullanılarak hassas süreçler yapılabilirken birebir kesimin gayrı nahiyeleri büyük elemanlara bölünerek süreç suratı artırılabilir.
4. Gerilimler, gerinimler ve mahal değiştirmeler hassas bir formda elde edilebilir.
b. Sonlu elemanlar prosedürünün dezavantajları
1. Benzeşim modeli elde edilen yapıların isotropik, homojen ve doğrusal elastisite üzere gereç özellikleri ile ilgili varsayımlar, umumiyetle yapının tam bir temsili örneği değildir ve modellenen yapılar gerçekte olduğundan daha çok dinamik yükler altındadır. Yapıların tahlili bu yolla dinamik açıdan da ele alınabilir, gelgelelim süreçler hem daha uzun sürer hem de daha karmaşık bir hal alabilir.
2. Tekniğin muteberliği ve yapılan araştırmanın doğruluğu için gereç özellikleri, geometrisi ve modellenen gerçek sistemin yüklenmesi üzere birtakım kıymetli özelliklerin sahih verilmesinin külliyen araştırıcının sorumluluğuna dayanmasından ötürü çok hassas haber aktarımını gerektirir.
c. Sonlu elemanlar usulünün temel kavramları
· Düğüm (Node)
Sonlu elemanlar prosedüründe modeller, sonlu sayıda elemanlara bölünür. Bu elemanlar aşikâr noktalardan birbirleriyle bağlanır ve bu noktalara düğüm (node) denir. Katı modellerde, her bir elemandaki mekan değiştirmeler, direkt düğüm noktalarındaki mahal değiştirmelerle ile alakalı iken, düğüm noktalarındaki mekan değiştirmeler ise elemanların gerilmeleriyle alakalıdır. Sonlu elemanlar yolu, bu düğümlerdeki taraf değiştirmeleri çözmeye çalışır. Böylelikle gerilme yaklaşık olarak uygulanan yüke eşit bulunur. Bu düğüm noktaları kesinlikle görünür noktalardan hareketsiz bir halde sabitlenmelidir.
· Eleman (Element)
Sonlu elemanlar prosedüründe sistemi tanımlayan nahiye, eleman (element) olarak isimlendirilen olağan geometrik biçimlere parçalanır. Bu elemanlar, "düğüm" olarak isimlendirilen hususî noktalardaki bilinmeyen kıymetler cinsinden tabir edilir. Had koşullarını da içerecek halde, elemanların birleştirilmesi sonucu lineer yahut lineer olmayan cebirsel denklem seti elde edilir. Bu denklemlerin tahlili, sistemin yaklaşık davranışını verir. Sonlu elemanlar yolunda elemanlar geometrisine nazaran, üçgen, koşut kenar, dörtgen elemanlar olarak sınıflandırılırken, boyutlarına nazaran tek boyutlu, iki boyutlu, dönel elemanlar, üç boyutlu elemanlar, izoparametrik elemanlar olarak, düğüm sayısına ve düğüm sayısındaki bilinmeyenlere ve mütemadi ortam meselesinin özelliklerine nazaran ise plak, levha, kabuk meseleleri olarak sınıflandırılmaktadır. Sonlu elemanlar usulü düğüm noktaları için tanımlanmış kaideleri, cebirsel lineer denklemlere çevirir, evvel bu denklemler çözülür ve bütün elemanlardaki gerçek gerilmeleri bulmaya çalışır. Sonuç olarak model ne kadar çok sayıda elemana bölünürse daha gerçekçi sonuçlar elde edilir.
· Mesh oluşturulması
Mesh (ağ) oluşturma süreci, düğüm noktalarının ve elemanların koordinatlarını oluşturur. Tıpkı devranda kullanıcı tarafından girilen minimum habere karşılık elverişli paha müddette otomatik olarak düğüm noktalarını ve elemanları sıralar, numaralanmasını sağlar. Mesh üretme konusunda kullanıcının ayrıyeten üzerinde mesh üretilecek meydanda, hangi yerlerin eleman yoğunluğunun ziyade olacağına hangi kesimlerin eleman yoğunluğunun daha az olacağına karar vermesi gerekebilir.
Umumiyetle, kıymetli olduğu yahut kendi içinde büyük değişime sahip olduğu bilinen yahut kestirim edilebilen yerlerde, ünite yere daha çokça eleman yerleştirilir. Mesh oluşturmada modeller sonlu sayıda elemanlara bölünür. Bundan sonra, cismin nereden sabitlendiğini ve kuvvetin neresinden uygulandığını gösteren hudut kaideleri belirlenir.
· Katı modelleme
En üst seviye modelleme tekniğidir. Gerçek mealde cismin iç ve dış geometrisinin tarifi yapılmış olur. Katı modellemenin esas özelliği, imgenin ötesinde cismin iç ve dış geometrisinin haber kütüğü biçiminde bilgisayara geçmiş olmasıdır. Böylelikle yük, moment üzere parametreler hesaplanabilir yahut kesitler alınarak cismin iç geometrik formu incelenebilir. Cisimlerin yüzeylerindeki renkler, geçirgenlik ışık yoğunluğu ve gölgeleme yapılabilir. Cisimlerin katı modellemesi için CAD (Computer Aided Design-Bilgisayar Destekli Tasarım) programları iki yol kullanır. Bu formüller yardımıyla yüzey hadlerinin tarifi yapılır ve bu hudutlar boyunca iki boyutlu yüzeylerin taranması ile cismin tüm hacmi tanımlanır. Eksenel simetri olan bir kesim, dönme biçiminde bir tarama ile kolaylıkla tanımlanır ya da karmaşık yüzeylerde tanımlanan eğriler boyunca yapılan tarama yüzeyi oluşturulur. Tasarımlanacak cismin yapısına nazaran bu iki prosedürden birisi tercih edilir.
CAD ortamında süratli bir done muhabere ve süreç gücüne gereksinim duyulması, prosedürün dezavantajı olarak gösterilmektedir. Katı modelleme sayesinde bir eserin daha üretilmeden istenen hal ve işlevi sağlayıp sağlamadığı denetim edilebilir. Dayanım ve materyal hesapları da yüksek maliyetli testlerle değil yazılım olarak yapılabileceğinden daha süratli ve ucuz olur.
· Bir, iki ve üç boyutlu modelleme
Bir boyutlu modellemede, oluşturulan model tek eksenli olur. Yani yüksek hesap gerekmeyen ya da kuvvetin tek eksenden tesir ettiği durumlarda kullanılabilir. İki boyutlu modellerde çizilen kesimler ise iki boyutlu olarak oluşturulur. Kuvvetler oluşturulan modelde iki eksen doğrultusunda tesir ettirilir. Meydana gelen tesirler de bu istikametlerde oluşmaktadır. Tasarruf mekanı, üç boyutlu hareket ekseni olmayan yahut özellikleri nedeniyle diğer eksenlerde çalışmayan sistemlerdir.
Üç boyutlu modelleme ise gerçek yerkürenin koordinat düzlemine nazaran oluşan kuvvetleri temsil etmek için kullanılır. Her eksende olan kuvvetler hesaba katılmış olur. Böylelikle daha hassas ve gerçek sonuçlar elde edilebilir. Üç boyutlu bir benzeşimi, iki boyutlu yahut bir boyutlu çözmek sisteme daha olağan yaklaşılmasını sağlayarak hesaplamalarda kolaylık sağlar.
Sonlu elemanlar metodu, karmaşık geometrilerin tahlilinde kullanılan sayısal bir metottur. Bu formülle incelenen bir yapının bir, iki yahut üç boyutlu tahlili yapılabilir. Formülde, değişik biçimlerdeki yapılar modellenir ve birbirlerine düğüm noktalarında birleşen daha kolay geometrik biçimlere (elemanlara) bölünür. Kuvvet dağılımı, her eleman için başka farklı bulunacağından, daha hassas bir tahlil için eleman sayısı çoğaltılır.
Bu formül, matematikçiler tarafından mühendislikte karşılaşılan meselelerin analitik tahlilinde kullanılmak üzere 1940' lı yıllarda geliştirilmiştir. Yol ile ilgili birinci çalışmalar, Hrennikoff ve McHenry tarafından geliştirilen iki boyutlu yarı analitik tahlil metotlarına dayanır. Yolun üç boyutlu sorunlara uygulanması 1964 yılında geliştirilmiştir. 1965 yılında prosedür ile Poisson denklemi çözülmüştür. 1970' de ise sistem, akışkanlar mekaniğine uygulanmıştır. Modeldeki gerilimleri matematiksel olarak elde edebilmek için kimi malumatlar gereklidir. Bunlar;
· Düğüm noktaları ve elemanlarının yekun sayısı ile her bir düğüm noktasını ve elemanı belirlemek için numaralandırma sistemi,
· Her bir elemanla ilgili olarak materyalin elastisite katsayısı ve Poisson orantısı,
· Hudut kuralları tipi ve dış düğümlere uygulanan kuvvetlerin değerlendirilmesidir.
Yol son yıllarda biyomekanik ile ilgilenen araştırmacıların ilgisini çekmesi sonucunda, diş hekimliği sahasında sıkça kullanılmaya başlanmıştır. Yol, iki boyutlu ve üç boyutlu olarak uygulanabilir. İki boyutlu sonlu elemanlar tahlili tatbik kolaylığı nedeniyle tercih edilmektedir.
İki boyutlu modelin tasarrufuyla diş yapısındaki en ince tabakaların (yapıştırıcı siman, mine tabakası, gütta-perka, kesici kenara uzanan porselen yapısı gibi) daha uygun modellenmesinde başarılı olunduğu belirtilmektedir. Ama iki boyutlu sonlu elemanlar modelinin ehliyetsiz kaldığı durumlar laf bahsidir. İnsan dişi bir oldukça sistemsiz bir yapıya sahiptir. Diş yapısındaki farklı materyallerin dağılımı da rastgele bir simetri göstermemektedir. Bu nedenle emniyetli bir tahlil için gerçek boyutları yansıtan üç boyutlu bir model kullanması tercih edilmelidir.
Diş hekimliğinde sonlu elemanlar metodu ile yapılan tahlillerde kullanılan programlar ANSYS, SAP 80, FEMPRO, I-DEAS, NASTRAN, PAFEC 75, MARC ve PATRAN' dır.
a. Sonlu elemanlar sisteminin avantajları
1. Bazen iç içe geçmiş elemanlardaki gereç özellikleri birebir olmayabilir ve bu durum tahlilde sorun yaratabilir. Sonlu elemanlar usulü ile birkaç gerecin birleştirildiği cisimlerde uygulanabilir.
2. Gerçek yapıya çok daha yakın bir model hazırlanabilir,
3. Formül ile düzgün olmayan hadlere sahip haller ve eğri kenarlı elamanlar tahlil edilebilir ve eleman boyutları kullanıcı tarafından basitçe değiştirilebilir. Böylelikle kıymetli değişiklikler beklenen ortamlarda daha küçük elemanlar kullanılarak hassas süreçler yapılabilirken birebir kesimin gayrı nahiyeleri büyük elemanlara bölünerek süreç suratı artırılabilir.
4. Gerilimler, gerinimler ve mahal değiştirmeler hassas bir formda elde edilebilir.
b. Sonlu elemanlar prosedürünün dezavantajları
1. Benzeşim modeli elde edilen yapıların isotropik, homojen ve doğrusal elastisite üzere gereç özellikleri ile ilgili varsayımlar, umumiyetle yapının tam bir temsili örneği değildir ve modellenen yapılar gerçekte olduğundan daha çok dinamik yükler altındadır. Yapıların tahlili bu yolla dinamik açıdan da ele alınabilir, gelgelelim süreçler hem daha uzun sürer hem de daha karmaşık bir hal alabilir.
2. Tekniğin muteberliği ve yapılan araştırmanın doğruluğu için gereç özellikleri, geometrisi ve modellenen gerçek sistemin yüklenmesi üzere birtakım kıymetli özelliklerin sahih verilmesinin külliyen araştırıcının sorumluluğuna dayanmasından ötürü çok hassas haber aktarımını gerektirir.
c. Sonlu elemanlar usulünün temel kavramları
· Düğüm (Node)
Sonlu elemanlar prosedüründe modeller, sonlu sayıda elemanlara bölünür. Bu elemanlar aşikâr noktalardan birbirleriyle bağlanır ve bu noktalara düğüm (node) denir. Katı modellerde, her bir elemandaki mekan değiştirmeler, direkt düğüm noktalarındaki mahal değiştirmelerle ile alakalı iken, düğüm noktalarındaki mekan değiştirmeler ise elemanların gerilmeleriyle alakalıdır. Sonlu elemanlar yolu, bu düğümlerdeki taraf değiştirmeleri çözmeye çalışır. Böylelikle gerilme yaklaşık olarak uygulanan yüke eşit bulunur. Bu düğüm noktaları kesinlikle görünür noktalardan hareketsiz bir halde sabitlenmelidir.
· Eleman (Element)
Sonlu elemanlar prosedüründe sistemi tanımlayan nahiye, eleman (element) olarak isimlendirilen olağan geometrik biçimlere parçalanır. Bu elemanlar, "düğüm" olarak isimlendirilen hususî noktalardaki bilinmeyen kıymetler cinsinden tabir edilir. Had koşullarını da içerecek halde, elemanların birleştirilmesi sonucu lineer yahut lineer olmayan cebirsel denklem seti elde edilir. Bu denklemlerin tahlili, sistemin yaklaşık davranışını verir. Sonlu elemanlar yolunda elemanlar geometrisine nazaran, üçgen, koşut kenar, dörtgen elemanlar olarak sınıflandırılırken, boyutlarına nazaran tek boyutlu, iki boyutlu, dönel elemanlar, üç boyutlu elemanlar, izoparametrik elemanlar olarak, düğüm sayısına ve düğüm sayısındaki bilinmeyenlere ve mütemadi ortam meselesinin özelliklerine nazaran ise plak, levha, kabuk meseleleri olarak sınıflandırılmaktadır. Sonlu elemanlar usulü düğüm noktaları için tanımlanmış kaideleri, cebirsel lineer denklemlere çevirir, evvel bu denklemler çözülür ve bütün elemanlardaki gerçek gerilmeleri bulmaya çalışır. Sonuç olarak model ne kadar çok sayıda elemana bölünürse daha gerçekçi sonuçlar elde edilir.
· Mesh oluşturulması
Mesh (ağ) oluşturma süreci, düğüm noktalarının ve elemanların koordinatlarını oluşturur. Tıpkı devranda kullanıcı tarafından girilen minimum habere karşılık elverişli paha müddette otomatik olarak düğüm noktalarını ve elemanları sıralar, numaralanmasını sağlar. Mesh üretme konusunda kullanıcının ayrıyeten üzerinde mesh üretilecek meydanda, hangi yerlerin eleman yoğunluğunun ziyade olacağına hangi kesimlerin eleman yoğunluğunun daha az olacağına karar vermesi gerekebilir.
Umumiyetle, kıymetli olduğu yahut kendi içinde büyük değişime sahip olduğu bilinen yahut kestirim edilebilen yerlerde, ünite yere daha çokça eleman yerleştirilir. Mesh oluşturmada modeller sonlu sayıda elemanlara bölünür. Bundan sonra, cismin nereden sabitlendiğini ve kuvvetin neresinden uygulandığını gösteren hudut kaideleri belirlenir.
· Katı modelleme
En üst seviye modelleme tekniğidir. Gerçek mealde cismin iç ve dış geometrisinin tarifi yapılmış olur. Katı modellemenin esas özelliği, imgenin ötesinde cismin iç ve dış geometrisinin haber kütüğü biçiminde bilgisayara geçmiş olmasıdır. Böylelikle yük, moment üzere parametreler hesaplanabilir yahut kesitler alınarak cismin iç geometrik formu incelenebilir. Cisimlerin yüzeylerindeki renkler, geçirgenlik ışık yoğunluğu ve gölgeleme yapılabilir. Cisimlerin katı modellemesi için CAD (Computer Aided Design-Bilgisayar Destekli Tasarım) programları iki yol kullanır. Bu formüller yardımıyla yüzey hadlerinin tarifi yapılır ve bu hudutlar boyunca iki boyutlu yüzeylerin taranması ile cismin tüm hacmi tanımlanır. Eksenel simetri olan bir kesim, dönme biçiminde bir tarama ile kolaylıkla tanımlanır ya da karmaşık yüzeylerde tanımlanan eğriler boyunca yapılan tarama yüzeyi oluşturulur. Tasarımlanacak cismin yapısına nazaran bu iki prosedürden birisi tercih edilir.
CAD ortamında süratli bir done muhabere ve süreç gücüne gereksinim duyulması, prosedürün dezavantajı olarak gösterilmektedir. Katı modelleme sayesinde bir eserin daha üretilmeden istenen hal ve işlevi sağlayıp sağlamadığı denetim edilebilir. Dayanım ve materyal hesapları da yüksek maliyetli testlerle değil yazılım olarak yapılabileceğinden daha süratli ve ucuz olur.
· Bir, iki ve üç boyutlu modelleme
Bir boyutlu modellemede, oluşturulan model tek eksenli olur. Yani yüksek hesap gerekmeyen ya da kuvvetin tek eksenden tesir ettiği durumlarda kullanılabilir. İki boyutlu modellerde çizilen kesimler ise iki boyutlu olarak oluşturulur. Kuvvetler oluşturulan modelde iki eksen doğrultusunda tesir ettirilir. Meydana gelen tesirler de bu istikametlerde oluşmaktadır. Tasarruf mekanı, üç boyutlu hareket ekseni olmayan yahut özellikleri nedeniyle diğer eksenlerde çalışmayan sistemlerdir.
Üç boyutlu modelleme ise gerçek yerkürenin koordinat düzlemine nazaran oluşan kuvvetleri temsil etmek için kullanılır. Her eksende olan kuvvetler hesaba katılmış olur. Böylelikle daha hassas ve gerçek sonuçlar elde edilebilir. Üç boyutlu bir benzeşimi, iki boyutlu yahut bir boyutlu çözmek sisteme daha olağan yaklaşılmasını sağlayarak hesaplamalarda kolaylık sağlar.
