arıların petekleri neden altıgen şeklindedir

Arıların petekleri niçin altıgen biçiminde

Bal Peteğindeki Matematik

* Altıgenin, eşkenar üçgen ve kareye nazaran ayrıcalıklı tarafları

* Altıgen bir prizma şeklinde olan peteğin, açık ucunu kapatmak için kullanılacak balmumunun israf edilmemesi için, nasıl bir geometri uygulanmalıdır?

Bal peteğinin enteresan mimarisi tarih boyunca insanların ilgisini çekmiştir Tabi yana altıgenlerden oluşan bu yapı, son derece hassas olup ortalama duvar kalınlıkları 0,1 mmdir Bu ortalama değerden sapma ise, azami 0,002 mm kadardır Peteklerin inşasında uyulan geometri kaidelerinin ne derece ideal olduğunu anlayabilmek için, matematikî bir görünüm açısına sahip almak gerekir
Daire, belli bir sabit alanı çevreleyen en kısa kenar uzunluğuna sahip geometrik şekildir Meselâ alanı 10 cm2 olan kare ve dairenin çevre uzunlukları karşılaştırıldığında, dairenin çevresinin daha kısa olduğu görülür Fakat bal peteğinin inşasında şart tamamen böyle değildir Burada bal peteğinin geniş çerçevesi, eşdeğer ve daha küçük alanlara bölünecektir ve bölme işleminde en düşük çevre uzunluğuna sahip şekil kullanılacaktır Çerçeveyi, eşit alanlara sahip minik daireler şeklindeki peteklere bölmek istersek, yukarıda açıklama edildiği gibi en kısa kenar özelliği sağlanacak, fakat dairelerin kenarları arasında kalan boşluklar için daha fazla mum harcanmış olacaktır
Halbuki bu problemi, en kısa kenar uzunluğu ve en düşük malzemeyle (mum) çözmek için geometri prensiplerine başvuru ettiğimizde, peteklerin bölünmesinde çokgenlerin kullanılması gerektiği görülecektir Kenar sayısı n olan aynı alana sahip çokgenler düşünelim Bunların içerisinde en kısa çevre uzunluğuna sahip olanı sürükleyici ngendir Sürükleyici ile kastedilen, bütün kenarları ve iç açıları eşdeğer olandır Bu müşteri bir çokgen, her zaman bir dairenin içine çizilebilir ve çokgenin köşeleri çemberin çevresi üzerindedir Böyle bir yapının ideal daire şekline yakın olmasından dolayı çevre uzunluğu en az olmaktadır Meselâ eşdeğer alanlı üçgenler içerisinde en kısa çevre uzunluğu eşkenar üçgende, dörtgenler arasında en kısa çevre uzunluğu ise karede elde edilir Aynı şekilde beşgen ve altıgenler kendi arasında kıyaslanırsa, en kısa çevre uzunluğu akıcı beşgen ve altıgende elde edilebilir
Akla gelebilecek ilk soru, belli bir alanı bölerken hangi akıcı çokgeni kullanmamız gerektiğidir Bir daire ve içerisine çizilmiş n taraflı bir sürükleyici çokgenin bir kısmı Şekil 1'de gösterilmiştir Şekilden de görülebileceği gibi çokgenin bir iç açısı 180360n derecedir Bahşedilen bir geniş alanı minik alanlara bölmek istediğimizde, komşu çokgenlerin birbirlerine tam oturması ve aralarında başıboşluk kalmaması gerekir Bunun olabilmesi için birbirine yaslanan komşu çokgen köşelerine ait iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır (Şekil 2) Başka bir ifadeyle bir iç açının bütün rakam bir katı 360 derece olmalıdır N komşu iç açıların adedini sunmak üzere, bu durumda aşağıdaki denklemi yazabiliriz (N tamsayıdır):
N (180 360 n ) 360
Buradan N çözülürse
N 2n (n2) 2 + 4 (n2)
ifadesi elde edilir Bulmak istediğimiz, hangi kenar sayısı n için, N değeri tamsayı olmaktadır Tamsayı değerleri, yalnızca n 3, 4 ve 6 için elde edebiliriz ve 6'dan büyük hiçbir rakam için tamsayı elde edilemez Yani bir alanı boşluksuz ayırmak istersek, ya üçgen, ya dörtgen veya altıgen kullanmalıyız Kenar sayısı 6'dan artı olan akıcı bir çokgen ile boşluksuz bölme olası değildir Aynı şekilde akıcı beşgenler de uygun bir çözüm değildir Şekil 3'te üç düzgün beşgenin tabi yana getirilmesi ile 36O açılı anlamsız bir bölge ortaya çıkmıştır Halbuki altıgenler boşluksuz bağlı yanlamasına getirilebilirler (Şekil 4)Ayrıca eşdeğer alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, asgari çizgi uzunluğu altıgende olmaktadır Dolayısı ile asgari balmumu sarfiyatı bu şekilde bölme kullanılarak elde edilebilir
Matematikçiler keza, kenarları doğru olmayan, çarpık olan çokgenlerin daha iyi olup olmadığını da araştırdılar Kenar çarpık olunca, bir çokgende dışbükey şekil elde edilirken komşu çokgende ister istemez konkav şekil elde edilmektedir Konveks eğri ile elde edilen avantajı (daire parçasına daha pozitif benzemesinden nedeniyle) konkav eğriden gelen daha fazla dezavantaj yok etmekte ve net olarak bir kazanç elde edilememektedir Michigan Üniversitesinden Thomas Hales 1999'da tartışmalara son noktayı koydu ve bir alanı eşit küçük alanlara ayırmak istediğimizde, en ideal şeklin akıcı altıgen olduğunu ispatladı Her ne kadar altıgen şeklin, ideal bir şekil olduğu uzun zamandır belirtilse de, bunun sağlam bir matematik ispatı yapılamamıştı
Şimdiye dek probleme iki boyutlu baktık Fakat bal peteği üç boyutlu bir vücut olup altıgen prizma şeklindedir Altıgen prizma şeklindeki petekler iki tabaka hâlinde olup, bir uçları açık, öteki kapalı uçları ise sırt sırta yerleştirilmiştir (Şekil 5) Çerçeve yere tepede olan gelecek şekilde yerleştirildiğinde, prizmalar yatay ile 13Olik bir eğim açısı yapacak şekilde yapı edilmiş olurlar ve bu açı balın akmaması için yeterli olan en minik açıdır Acaba peteğin kapalı ucunda en az balmumu sarfiyatı için nasıl bir geometri olmalıdır? 1964'te matematikçi Fejes Toth, en ideal kapatmanın iki altıgen ve iki kare ile sağlanabileceğini gösterdi (Şekil 6a) Arılar ise biraz bambaşka olarak üç eşkenar dörtgenle kapatma yapmaktaydılar (Şekil 6b) Eşkenar dörtgenlerin iç açıları 70,5O ve 109,5O olup, üç eşkenar dörtgen çatısı şekli için en ideal matematik çözümü vermektedir Görünürde arıların uygulamasında iki altıgen ve iki kareye kadar alanda % 0,035'lik çok minik bir kayıp olmaktaydı Ama gözden kaçırılan bir nokta vardı, o da hesaplamalarda duvar kalınlığı son derece ince alınıyordu
Araştırmacılar, Tothun matematik modelini tecrübe etmek üzere sıvı hava köpüğü kullandılar İki cam arasına, iki katman olacak şekilde 2 mm çaplı kabarcıklara sahip temizlik maddesi çözeltisi pompaladılar Camlarla temas eden kabarcıklar altıgen yapılara dönüştü Ortada iki tabakanın sınırında ise Tothun öne sürdüğü iki altıgen ve iki kare şeklindeki yapı oluştu Kabarcık duvarları azıcık kalınlaştırıldığında ise, enteresan bir durum ortaya çıktı ve inşa birdenbire arılarda olduğu gibi üç eşkenar dörtgen yapısına dönüştü *