Türkiye'nin en güncel forumlardan olan forumdas.com.tr'de forumda aktif ve katkısı olabilecek kişilerden gönüllü katkıda sağlayabilecek kişiler aranmaktadır.
iltasyazilim
FD Üye
Cebir hakkında veri
Cebirin tarihi süreci
BİZANS'TA CEBİR
Bir Takım kaynaklar, Bizans'ta ileri bir matematiğin varlığı hakkında geniş bilgi verirler Sıradan 1000
takvim hayatı olan Bizans'in, matematik tarihinde, Eski Yunan matematiğini, ilerletip geliştirmesi bakımından, öyle aydınlık bir duruma sahip değildi Bu atama matematikçileri olarak belirtilen ve aynı zamanda Nikomedya (İzmit) rahibi olan Masimus Planudes (İzmit 1260 İstanbul 1310), Diofantos' un birinci ve ikinci kitaplarına dair yalnızca tefsir yazabilmiştir M Planudes'in en fazla bahsedilen eseri, 1300 yılında yazdığı Hint Hesabı'dır Planudes; bu eserinde, karekök alma kuralını, Diafantos'un eserini esas olmak suretiyle Hint metodunu uygulama etmişti
14 yüzyılın ikinci yarısından itibaren, 15 yüzyılın ilk yarısına kadar (İstanbul'un fethi yıllarına kadar), Bizans matematiğinde bilim tarihinde isim bırakmış matematikçilere rastlanılmaz Bu tarihlerde, siyasal olaylar yüzünden, bilim ihmal edilmiştir Bu tarihlerin ilginç bir olayı, İstanbul'da gizli kalmış özel kişisel kitaplıkların dışarıya, elyazması ne değin eser varsa İtalya'ya götürülmüştür İstanbul'da el yazmalarına ait hiç bir eser bırakmamışlardır Givanni Aurispa'nin (13691460) Bizans'tan Venedik'e 238 el yazması eser götürdüğü tarihi bir durum olarak bilinmektedir
Bizans matematiğinin durumunu, tamamen incelemiş olan Hamit Dilgan Matematik Tarih ve Tekamülüne Bir Görüntü adlı eserinde şöyle yazan : Bizans'ta bütün anlamıyla büyük matematikçi yetişmemiştir Bir çoğunun eserleri (birkaçı müstesna) mütevazi ve basittir, Hatta bazılarının eserlerindeki problemlerin, yazarları tarafından anlaşılamadığı seziliyor Bütün bu hususlar, Eski
Yunan dehasının gerilemiş ve bitkin olduğuna canlı birer misal teşkil eder Şu değin var ancak,
Bizans matematiği, aynı devrelerdeki Roma matematiğinden çok daha ileri bir durumda olmakla beraber, Doğu İslam Dünyası Matematiğine nazaran çok geri kalmıştı''
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
CEBİRİN AVRUPA'DA GÖRÜLMESİ
Matematik tarihi eserleri; yazılan birincil cebir kitabının Harezmi'nin elKitabü'l Muhtasar fi Hesabi'l Cebri ve'l Karşılıklı Olma adlı eseri olduğunu belirtir Batılı yazarların da belirttikleri gibi, İspanya yoluyla Avrupa'ya giren birincil cebir kitabı, Harezmi'nin adını belirttiğimiz eseridir Bu eserde görülen çözüm yolları, İtalyan matematikçi, Leonardo Pisano (1170 1250) göre yazılı Liner Abacı (Hesap Metodu) adlı kitap ile 1202 yılında İtalya'ya girmiştir Bu eser, Batılı matematikçilerden; Passioli, Tartiaglie ve Cardon'un çalışmalarına temel eser olmuşturÖyle ki, bu matematikçilerin eserleri incelendiğinde, Harezmi'ye ait izlerin varlığını görmek mümkündür Harezmi'nin eseri ile yukarıda adlarını belirttiğimiz matematikçilerin eserlerini ayrıntılarıyla incelemiş olan Hamid Dilgan bu konu ile ilgili olarak tıpkı şunları söyler: Batılı yazarlar cebiri, Cebri ve'l Mukabel adlı eserin Latince tercümesinden öğrenmişlerdirAdnan Adıvar ise bir makalesinde şunları yazar: GLibri göre, 1915 yılında New York'ta yapılan tercümenin eski Latince nüshanın üstünde İspanya'da bulunan Sagovia şehrinin adı 1145 yılında yazılmış olduğunu belirterek bu tarihe, aynı zamanda Avrupa'da Cebirin Doğuş Tarihi olarak görmek mümkündür
Harezmi'nin bu eseri, esas eser kabul edilerek bu konuda, Avrupa'da cebirle ilgili yeni eserler yazılmış ve Harezmi adı ile eserinin adı kısa sürede yayılmaya başlamıştır
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
ESKİ HİNT DÜNYASI'NDA CEBİR
İçinde bulunduğumuz yüzyılın araştırmaları; Eski Hint Dünyası'nda özellikle 6 , 7 , 9 ve 12 yüzyıllarda, matematikle ilgili olarak, çağının data seviyesinin üstteki düzeyinde garip bilimsel alıştırmaların varlığını ortaya koymuştur Eserleriyle adları zamanımıza değin gelebilen, Hint matematikçileri, bilim tarihinde kendilerini etkili bir şekilde göstermektedir Bunlardan belirttiğimiz yüzyıllar içinde yaşamış olanlardan: Brahmagupta, Aryabatha, Mahavra ve Bhaskara adlarını belirtebiliriz Kaynaklar; Brahmagupta'nın Kutakhadyaka adlı eserinde de, münferit cebir konularının görüldüğünü, ancak bunların uyumlu ve enine boyuna, cebir konularını kapsayan sistematik bir eser olmaktan uzak olduğunu belirtir Buraya dek; adlarını belirttiğimiz; Diofantos'un Aritmetikave Brahmagupta'nın Kutakhadyaka adlı iki eserde, ikinci derece denklemlerin çizim aracılığıyla (geometrik yolla) çözümlerinden bahis olmadığını ve mevcut bilgilerin de Mezopotamya menşeli olduğunda kaynaklar hemfikirlerdir
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
ESKİ MISIRLILAR'DA CEBİR
İnceleyebildiğiniz kaynaklarda; Mısırlılarda, bugünkü cebirin herhangi bir şeklinin varlığına dair, belli bilgiler görülmemektedir Oysa; Mısırlılarda, bugünkü cebir konularına benzeyen, epeyce ilkel cebirin varlığı görülmektedir Bu konuda aha hesabı adı bahşedilen bir hesaplama türüne rastlanılmaktadır Bu hesaplama türü hakkında, Okumuş Sayılı Mısırlılar'da ve Mezopotamyalılar'da Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde Berlin ve Rhind Papirüslerine dayanarak şu bilgiyi vermekte;
Aha kelimesi, grup veya miktar anlamına gelmektedir Böyle adlandırma, bir metot görüşü olarak yapılmış olmakla beraber, aha hesaplarında, Hatalı ve Test aracılığıyla Yoklayarak çözümmetodu kullanılmış olduğu görülmektedir Keza bu usulle, bir takım çözümler cebiri hatırlatıyor Adı geçen eserde; bu tür hesabın nasıl yapıldığına dair, açıklamalı iki misal verildikten sonra; müsteşrik S Gantz'a atfen altı örnek belirtmektedir Bunlar :
xy 43 ; xy 12
xy 40 ; x (52)y
xy 40 ; xy (13) + (115) 25
10xy 120 ; y (34)x
x2 + y2 100 ; y (34)x
a2 + b2 400 ; a 2x ; b (32)x
Derhal belirtmek gerekir fakat; bu örnekler, Mısırlıların aha hesabında yaptıklarının, bugünkü cebrik düşünceye göre düzenlenmiş gösterim ve düzen şekilleridir
Yukarıdaki altı alıcı örnekte görülebileceği gibi, problemler defalarca özel durumları temsilcilik ediyor Lahzacak, Aydınlatılmış Sayılı adı geçen eserinde, bu konuda : Mısırlı matematikçinin zihninde emin çözüm yollarının ve genel formüllerin bulunduğuna kararsızlık yoktur Mesela aha hesaplarıyla ilgili papirüslerde, herhangi bir metot laf konusu edilmemesine rağmen, bunlarda özel bir metoda uyulduğu gayet sarih bir şekilde görülmektedir Problemlerin pedagojik amaçlarla bu şekilde tertiplenmiş oldukları söylenebilir
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
ESKİ YUNAN'DA CEBİR
Birçok kaynaklarda; cebir denildiğinde, Eski Roma çağı Yunan matematikçisi Diofantos'un (225400) adından bahsedilir Diofantos'un Aritmetika adlı bir eseri mevcut olup, bu eserde sistematik olmamak üzere, münferit bir takım cebir konuları ile birlikte, ikinci derece denklemlerin çözümü görülmektedir Ancak, Diofantos devri Yunan matematiği, bazı harf ve semboller ile ifade edilmekte olduğundan, Diofatos'un Jukarda adını belirttiğimiz eseri, Harezmi'deki cebir işaretleri ve sistemlerinin oynadığı rolden yoksun olması bakımından gerçek anlamda düzenli ve disiplinli bir cebir kitabı olmaktan uzaktır Kaldı ancak; Harezmi'nin Cebri ve'l Karşılıklı Olma adlı eserinde görülen çözüm yolları, adamakıllı geometrik düşüncelerle temellendirilmiş olup, bu nesil sistematik çözümü de, cebire ilk ithal edenin, Harezmi olduğu son asır içinde yapılan araştırmalarla ortaya konulmuştur
Diofantos'ta görülen ikinci derece denklemlerin çözüm metotları, Mezopotamyalılar'ınkine benzemektedir Aydınlatılmış Sayılı adı geçen eserinde : Mezopotamyalılarda görülen denklem çözme geleneklerinin, Diofantos'ta devam ettiği görülmektedir Çağrıda Bulunmak ama Diofantos'taki şekliyle Yunan cebri Mezopotamya cebirirıin hemen hemen, doğrudan doğruya bir devamını, Abdülhamit İbni vasi Türk (? 847) ile Harezmi cebri ise tadil edilmiş bir şekildeki devamını teşkil etmektedir
Gene adı geçen eserde: Öklid'in Elementler adlı kitabında görülen:
(a)2 + (ab)2 2 (a22) ya da
2(a22) (a)2 (ab)2
şeklindeki özdeşliğin, cebirsel ifadelerin basitleştirilmesi ve çözümlerin basit tiplere irca edilmesi için, Mezopotamya matematikçileri göre kullanılmış olduğu belirtilir
MEZOPOTAMYALILAR'DA CEBİR
Eski Darı (MÖ XVIII yy) devrine ait papirüslerde, cebir işlemleri gibi yorumlanması olası bazı problemlere rastlanmıştır Ama Babil matematiği MÖ 3000'e değin çıktığından, bu konudaki Darı bilgisine, Babil bilimiyle temas neticesinde varılmış olduğu kabul edilmektedir Bununla beraber, Babil cebirinin, ne sembolik isaretler yönünden, ne de bilhassa negatifsayılar kavramı itibariyle müstakil bir bilim dalı olarak kurulmuş bulunduğunu anlatmak olası yokdir Bu sonuca fazla sonraları varılmıştır MS V VI yüzyıllarda, Hind'de, sıfır kavramıyla birlikte, birincil merhale aşılarak, VIII yüzyıl ortalarından itibaren, İslam bilginleri tarafından yüksek bir mertebeye çıkarılmıştır ÖzellikleEl Cebr v'el Mukabeleadı aşağıda ilk cebir kitabının bir müslüman Türk bilgini olan El Harezmi'ye ait bulunduğunu söyleyebiliriz Fakat cebirin, daha MÖ 3000'lerden itibaren, Mezopotamya'da var olmuş ve hayli gelişmil bulunduğu bugün kabul edilmektedir
Bugün bir veya çok bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden çoğu problemlere Babil tabletlerinde rastlanmıştır Mesela: Bu tablette, bir dikdörtgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle çarpılır ve bu sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor Aynı sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor Bu şeklin eni, boyu ve yüzölçümü nedir sorusu soruluyor ve yanıt olarak: 20, 7 ve 140 değerleri veriliyor
Kaynak: Bilimler Tarihi Celal Saraç *
Cebirin tarihi süreci
BİZANS'TA CEBİR
Bir Takım kaynaklar, Bizans'ta ileri bir matematiğin varlığı hakkında geniş bilgi verirler Sıradan 1000
takvim hayatı olan Bizans'in, matematik tarihinde, Eski Yunan matematiğini, ilerletip geliştirmesi bakımından, öyle aydınlık bir duruma sahip değildi Bu atama matematikçileri olarak belirtilen ve aynı zamanda Nikomedya (İzmit) rahibi olan Masimus Planudes (İzmit 1260 İstanbul 1310), Diofantos' un birinci ve ikinci kitaplarına dair yalnızca tefsir yazabilmiştir M Planudes'in en fazla bahsedilen eseri, 1300 yılında yazdığı Hint Hesabı'dır Planudes; bu eserinde, karekök alma kuralını, Diafantos'un eserini esas olmak suretiyle Hint metodunu uygulama etmişti
14 yüzyılın ikinci yarısından itibaren, 15 yüzyılın ilk yarısına kadar (İstanbul'un fethi yıllarına kadar), Bizans matematiğinde bilim tarihinde isim bırakmış matematikçilere rastlanılmaz Bu tarihlerde, siyasal olaylar yüzünden, bilim ihmal edilmiştir Bu tarihlerin ilginç bir olayı, İstanbul'da gizli kalmış özel kişisel kitaplıkların dışarıya, elyazması ne değin eser varsa İtalya'ya götürülmüştür İstanbul'da el yazmalarına ait hiç bir eser bırakmamışlardır Givanni Aurispa'nin (13691460) Bizans'tan Venedik'e 238 el yazması eser götürdüğü tarihi bir durum olarak bilinmektedir
Bizans matematiğinin durumunu, tamamen incelemiş olan Hamit Dilgan Matematik Tarih ve Tekamülüne Bir Görüntü adlı eserinde şöyle yazan : Bizans'ta bütün anlamıyla büyük matematikçi yetişmemiştir Bir çoğunun eserleri (birkaçı müstesna) mütevazi ve basittir, Hatta bazılarının eserlerindeki problemlerin, yazarları tarafından anlaşılamadığı seziliyor Bütün bu hususlar, Eski
Yunan dehasının gerilemiş ve bitkin olduğuna canlı birer misal teşkil eder Şu değin var ancak,
Bizans matematiği, aynı devrelerdeki Roma matematiğinden çok daha ileri bir durumda olmakla beraber, Doğu İslam Dünyası Matematiğine nazaran çok geri kalmıştı''
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
CEBİRİN AVRUPA'DA GÖRÜLMESİ
Matematik tarihi eserleri; yazılan birincil cebir kitabının Harezmi'nin elKitabü'l Muhtasar fi Hesabi'l Cebri ve'l Karşılıklı Olma adlı eseri olduğunu belirtir Batılı yazarların da belirttikleri gibi, İspanya yoluyla Avrupa'ya giren birincil cebir kitabı, Harezmi'nin adını belirttiğimiz eseridir Bu eserde görülen çözüm yolları, İtalyan matematikçi, Leonardo Pisano (1170 1250) göre yazılı Liner Abacı (Hesap Metodu) adlı kitap ile 1202 yılında İtalya'ya girmiştir Bu eser, Batılı matematikçilerden; Passioli, Tartiaglie ve Cardon'un çalışmalarına temel eser olmuşturÖyle ki, bu matematikçilerin eserleri incelendiğinde, Harezmi'ye ait izlerin varlığını görmek mümkündür Harezmi'nin eseri ile yukarıda adlarını belirttiğimiz matematikçilerin eserlerini ayrıntılarıyla incelemiş olan Hamid Dilgan bu konu ile ilgili olarak tıpkı şunları söyler: Batılı yazarlar cebiri, Cebri ve'l Mukabel adlı eserin Latince tercümesinden öğrenmişlerdirAdnan Adıvar ise bir makalesinde şunları yazar: GLibri göre, 1915 yılında New York'ta yapılan tercümenin eski Latince nüshanın üstünde İspanya'da bulunan Sagovia şehrinin adı 1145 yılında yazılmış olduğunu belirterek bu tarihe, aynı zamanda Avrupa'da Cebirin Doğuş Tarihi olarak görmek mümkündür
Harezmi'nin bu eseri, esas eser kabul edilerek bu konuda, Avrupa'da cebirle ilgili yeni eserler yazılmış ve Harezmi adı ile eserinin adı kısa sürede yayılmaya başlamıştır
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
ESKİ HİNT DÜNYASI'NDA CEBİR
İçinde bulunduğumuz yüzyılın araştırmaları; Eski Hint Dünyası'nda özellikle 6 , 7 , 9 ve 12 yüzyıllarda, matematikle ilgili olarak, çağının data seviyesinin üstteki düzeyinde garip bilimsel alıştırmaların varlığını ortaya koymuştur Eserleriyle adları zamanımıza değin gelebilen, Hint matematikçileri, bilim tarihinde kendilerini etkili bir şekilde göstermektedir Bunlardan belirttiğimiz yüzyıllar içinde yaşamış olanlardan: Brahmagupta, Aryabatha, Mahavra ve Bhaskara adlarını belirtebiliriz Kaynaklar; Brahmagupta'nın Kutakhadyaka adlı eserinde de, münferit cebir konularının görüldüğünü, ancak bunların uyumlu ve enine boyuna, cebir konularını kapsayan sistematik bir eser olmaktan uzak olduğunu belirtir Buraya dek; adlarını belirttiğimiz; Diofantos'un Aritmetikave Brahmagupta'nın Kutakhadyaka adlı iki eserde, ikinci derece denklemlerin çizim aracılığıyla (geometrik yolla) çözümlerinden bahis olmadığını ve mevcut bilgilerin de Mezopotamya menşeli olduğunda kaynaklar hemfikirlerdir
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
ESKİ MISIRLILAR'DA CEBİR
İnceleyebildiğiniz kaynaklarda; Mısırlılarda, bugünkü cebirin herhangi bir şeklinin varlığına dair, belli bilgiler görülmemektedir Oysa; Mısırlılarda, bugünkü cebir konularına benzeyen, epeyce ilkel cebirin varlığı görülmektedir Bu konuda aha hesabı adı bahşedilen bir hesaplama türüne rastlanılmaktadır Bu hesaplama türü hakkında, Okumuş Sayılı Mısırlılar'da ve Mezopotamyalılar'da Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde Berlin ve Rhind Papirüslerine dayanarak şu bilgiyi vermekte;
Aha kelimesi, grup veya miktar anlamına gelmektedir Böyle adlandırma, bir metot görüşü olarak yapılmış olmakla beraber, aha hesaplarında, Hatalı ve Test aracılığıyla Yoklayarak çözümmetodu kullanılmış olduğu görülmektedir Keza bu usulle, bir takım çözümler cebiri hatırlatıyor Adı geçen eserde; bu tür hesabın nasıl yapıldığına dair, açıklamalı iki misal verildikten sonra; müsteşrik S Gantz'a atfen altı örnek belirtmektedir Bunlar :
xy 43 ; xy 12
xy 40 ; x (52)y
xy 40 ; xy (13) + (115) 25
10xy 120 ; y (34)x
x2 + y2 100 ; y (34)x
a2 + b2 400 ; a 2x ; b (32)x
Derhal belirtmek gerekir fakat; bu örnekler, Mısırlıların aha hesabında yaptıklarının, bugünkü cebrik düşünceye göre düzenlenmiş gösterim ve düzen şekilleridir
Yukarıdaki altı alıcı örnekte görülebileceği gibi, problemler defalarca özel durumları temsilcilik ediyor Lahzacak, Aydınlatılmış Sayılı adı geçen eserinde, bu konuda : Mısırlı matematikçinin zihninde emin çözüm yollarının ve genel formüllerin bulunduğuna kararsızlık yoktur Mesela aha hesaplarıyla ilgili papirüslerde, herhangi bir metot laf konusu edilmemesine rağmen, bunlarda özel bir metoda uyulduğu gayet sarih bir şekilde görülmektedir Problemlerin pedagojik amaçlarla bu şekilde tertiplenmiş oldukları söylenebilir
Kaynak: Fen Bilimleri Tarihi Lütfi Göker
ESKİ YUNAN'DA CEBİR
Birçok kaynaklarda; cebir denildiğinde, Eski Roma çağı Yunan matematikçisi Diofantos'un (225400) adından bahsedilir Diofantos'un Aritmetika adlı bir eseri mevcut olup, bu eserde sistematik olmamak üzere, münferit bir takım cebir konuları ile birlikte, ikinci derece denklemlerin çözümü görülmektedir Ancak, Diofantos devri Yunan matematiği, bazı harf ve semboller ile ifade edilmekte olduğundan, Diofatos'un Jukarda adını belirttiğimiz eseri, Harezmi'deki cebir işaretleri ve sistemlerinin oynadığı rolden yoksun olması bakımından gerçek anlamda düzenli ve disiplinli bir cebir kitabı olmaktan uzaktır Kaldı ancak; Harezmi'nin Cebri ve'l Karşılıklı Olma adlı eserinde görülen çözüm yolları, adamakıllı geometrik düşüncelerle temellendirilmiş olup, bu nesil sistematik çözümü de, cebire ilk ithal edenin, Harezmi olduğu son asır içinde yapılan araştırmalarla ortaya konulmuştur
Diofantos'ta görülen ikinci derece denklemlerin çözüm metotları, Mezopotamyalılar'ınkine benzemektedir Aydınlatılmış Sayılı adı geçen eserinde : Mezopotamyalılarda görülen denklem çözme geleneklerinin, Diofantos'ta devam ettiği görülmektedir Çağrıda Bulunmak ama Diofantos'taki şekliyle Yunan cebri Mezopotamya cebirirıin hemen hemen, doğrudan doğruya bir devamını, Abdülhamit İbni vasi Türk (? 847) ile Harezmi cebri ise tadil edilmiş bir şekildeki devamını teşkil etmektedir
Gene adı geçen eserde: Öklid'in Elementler adlı kitabında görülen:
(a)2 + (ab)2 2 (a22) ya da
2(a22) (a)2 (ab)2
şeklindeki özdeşliğin, cebirsel ifadelerin basitleştirilmesi ve çözümlerin basit tiplere irca edilmesi için, Mezopotamya matematikçileri göre kullanılmış olduğu belirtilir
MEZOPOTAMYALILAR'DA CEBİR
Eski Darı (MÖ XVIII yy) devrine ait papirüslerde, cebir işlemleri gibi yorumlanması olası bazı problemlere rastlanmıştır Ama Babil matematiği MÖ 3000'e değin çıktığından, bu konudaki Darı bilgisine, Babil bilimiyle temas neticesinde varılmış olduğu kabul edilmektedir Bununla beraber, Babil cebirinin, ne sembolik isaretler yönünden, ne de bilhassa negatifsayılar kavramı itibariyle müstakil bir bilim dalı olarak kurulmuş bulunduğunu anlatmak olası yokdir Bu sonuca fazla sonraları varılmıştır MS V VI yüzyıllarda, Hind'de, sıfır kavramıyla birlikte, birincil merhale aşılarak, VIII yüzyıl ortalarından itibaren, İslam bilginleri tarafından yüksek bir mertebeye çıkarılmıştır ÖzellikleEl Cebr v'el Mukabeleadı aşağıda ilk cebir kitabının bir müslüman Türk bilgini olan El Harezmi'ye ait bulunduğunu söyleyebiliriz Fakat cebirin, daha MÖ 3000'lerden itibaren, Mezopotamya'da var olmuş ve hayli gelişmil bulunduğu bugün kabul edilmektedir
Bugün bir veya çok bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden çoğu problemlere Babil tabletlerinde rastlanmıştır Mesela: Bu tablette, bir dikdörtgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle çarpılır ve bu sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor Aynı sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor Bu şeklin eni, boyu ve yüzölçümü nedir sorusu soruluyor ve yanıt olarak: 20, 7 ve 140 değerleri veriliyor
Kaynak: Bilimler Tarihi Celal Saraç *
