Türkiye'nin en güncel forumlardan olan forumdas.com.tr'de forumda aktif ve katkısı olabilecek kişilerden gönüllü katkıda sağlayabilecek kişiler aranmaktadır.
iltasyazilim
FD Üye
Çokkatlı Nedir Çokkatlı Konu Anlatım
Çokkatlı Nedir Çokkatlı Konu Anlatım Geometri Çokkatlı
Çokkatlı (Alm Mannigfaltigkeit, İng manifold, Fr variété), topolojide soyut topolojik bir uzay Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer bununla birlikte, bir çokkatlı bir Öklit uzayı edinmek zorunda değildir Genel yapısı, bu basit lokal yapısından çok daha karmaşık olabilir Çokkatlının boyutu, lokal olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde muhtemel değildir
n boyutlu Öklit uzayı (Rn), n boyutlu bir çokkatlıdır Birkaç nokta, 0 boyutlu bir çokkatlıdır Düzlemde bir dürüst 1 boyutlu bir çokkatlıdır; her noktasının çevresi R1'e aynı R3'te bir düzlem ya da bir küre, 2 boyutlu çokkatlı örneğidir; her bir noktasının küme içinde çevresi R2'ye benzer
Sözcüğün kökeni
Çokkatlı sözcüğünün Almanca karşılığı Mannigfaltigkeittır (çokyönlülük, farklılık vs) Bu terim, başta Riemann Habilitation metninde (1854) kullanmıştır Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeşen lakin her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu cins bir uzaya Mannigfaltigkeit adını vermiştir Habilitation'unda şu satırları okumakta yarar var:
“ n katlı uzamın (nfold extent) bir noktasındaki eğriliğine anlaşılabilir bir manâ verebilmek için şuradan başlamalıyız: bir noktadan başlayan bir jeodezik, ilk yönü verildiğinde tek bir biçimde tanımlama edilmiş olur Buna tarafından, o noktadan ve bahşedilen yüzeyyönleriyle başlayan bütün jeodezikler gözönüne alındığında, yüzeyin o noktasında bir çarpıklık emin olur Bu eğrilik, bununla beraber içinde bulunulan n katlı sürekliliğin (nfold continuum) o noktada o yüzey yönünde eğriliğidir
Uzaya uyarlamadan önce, düz çokkatlılar (flat manifoldness) hakkında genel saptamalar yapmak gerekiyor Düz bir n katlı uzamda toplam çarpıklık her noktada her yönde sıfırdır Eğriliği en ince ayrıntısına kadar sıfır olan çokkatlılar, eğriliği değişmez olan çokkatlıların özel bir durumu diye düşünülebilir
Görüldüğü gibi Riemann bu terimi yaratırken, sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu Kullandığı Faltig sözcüğü, kat kat hissinden çok eğriliğin değişmesi yüzünden uzamın bükülüp kırışmasına muhabere ediyordu William Kingdon Clifford 1873'te Nature'da yayınlanan çevirisinde bu sözcüğü manifoldnessolarak karşılamıştır 2 Türkçe'ye tercüme bu sözcük üzerinden yapılmıştır
Fransızca variété terimiyse, (İngilizce'deki variety terimi gibi) cebirsel geometride analitik çokkatlılara işaret eder
Matematiksel betimleme
(Kenarı olmayan) n boyutlu çokkatlı, aşağıdaki koşulları karşılayan bir topolojik uzaydır:
* Hausdorff'tur;
* Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ancak bu komşuluk Rn'nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir;
* (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik özelliğini sağlar;
* (Kimi tanımlarda) Parakompakttır
Yukarıki tanımda ikinci koşulda Rn yerine, üst benzeri Öklit uzayını (yani Rn'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere Hn konduğunda, bu betimleme, kenarı olan (taraflı) topolojik bir çokkatlı tanımına dönüşür Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sözcüğünün anlamlı olabilmesi için Hn üstünde bir topoloji bulunması gerekir Bu topoloji standart olarak Rn'den tetiklenen topolojidir M çokkatlısının bir noktası x, Hn'de açık V kümesine homeomorfik x 'in açık komşuluğu U olsun Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gönderiliyorsa, x noktasına çokkatlının kenar noktası, tüm kenar noktaların kümesine çokkatlının kenarı denir
Mesela, düzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den büyük olmayan kümeyi ele alalım Bu kümeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir çokkatlıdır Kenarı bir çemberdir Çember 1 boyutlu bir çokkatlıdır Kenarı yoktur
n boyutlu, taraflı bir çokkatlının kenarı, n1 boyutlu bir çokkatlıdır Bir çokkatlının kenarının kenarı yoktur (boşkümedir)
Bir çokkatlının içinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir çokkatlıysa, bu altuzaya altçokkatlı denir Yukarıda bir çokkatlının içinde bahşedilen bütün çokkatlılar altçokkatlı örnekleridir *
Çokkatlı Nedir Çokkatlı Konu Anlatım Geometri Çokkatlı
Çokkatlı (Alm Mannigfaltigkeit, İng manifold, Fr variété), topolojide soyut topolojik bir uzay Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer bununla birlikte, bir çokkatlı bir Öklit uzayı edinmek zorunda değildir Genel yapısı, bu basit lokal yapısından çok daha karmaşık olabilir Çokkatlının boyutu, lokal olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde muhtemel değildir
n boyutlu Öklit uzayı (Rn), n boyutlu bir çokkatlıdır Birkaç nokta, 0 boyutlu bir çokkatlıdır Düzlemde bir dürüst 1 boyutlu bir çokkatlıdır; her noktasının çevresi R1'e aynı R3'te bir düzlem ya da bir küre, 2 boyutlu çokkatlı örneğidir; her bir noktasının küme içinde çevresi R2'ye benzer
Sözcüğün kökeni
Çokkatlı sözcüğünün Almanca karşılığı Mannigfaltigkeittır (çokyönlülük, farklılık vs) Bu terim, başta Riemann Habilitation metninde (1854) kullanmıştır Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeşen lakin her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu cins bir uzaya Mannigfaltigkeit adını vermiştir Habilitation'unda şu satırları okumakta yarar var:
“ n katlı uzamın (nfold extent) bir noktasındaki eğriliğine anlaşılabilir bir manâ verebilmek için şuradan başlamalıyız: bir noktadan başlayan bir jeodezik, ilk yönü verildiğinde tek bir biçimde tanımlama edilmiş olur Buna tarafından, o noktadan ve bahşedilen yüzeyyönleriyle başlayan bütün jeodezikler gözönüne alındığında, yüzeyin o noktasında bir çarpıklık emin olur Bu eğrilik, bununla beraber içinde bulunulan n katlı sürekliliğin (nfold continuum) o noktada o yüzey yönünde eğriliğidir
Uzaya uyarlamadan önce, düz çokkatlılar (flat manifoldness) hakkında genel saptamalar yapmak gerekiyor Düz bir n katlı uzamda toplam çarpıklık her noktada her yönde sıfırdır Eğriliği en ince ayrıntısına kadar sıfır olan çokkatlılar, eğriliği değişmez olan çokkatlıların özel bir durumu diye düşünülebilir
Görüldüğü gibi Riemann bu terimi yaratırken, sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu Kullandığı Faltig sözcüğü, kat kat hissinden çok eğriliğin değişmesi yüzünden uzamın bükülüp kırışmasına muhabere ediyordu William Kingdon Clifford 1873'te Nature'da yayınlanan çevirisinde bu sözcüğü manifoldnessolarak karşılamıştır 2 Türkçe'ye tercüme bu sözcük üzerinden yapılmıştır
Fransızca variété terimiyse, (İngilizce'deki variety terimi gibi) cebirsel geometride analitik çokkatlılara işaret eder
Matematiksel betimleme
(Kenarı olmayan) n boyutlu çokkatlı, aşağıdaki koşulları karşılayan bir topolojik uzaydır:
* Hausdorff'tur;
* Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ancak bu komşuluk Rn'nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir;
* (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik özelliğini sağlar;
* (Kimi tanımlarda) Parakompakttır
Yukarıki tanımda ikinci koşulda Rn yerine, üst benzeri Öklit uzayını (yani Rn'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere Hn konduğunda, bu betimleme, kenarı olan (taraflı) topolojik bir çokkatlı tanımına dönüşür Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sözcüğünün anlamlı olabilmesi için Hn üstünde bir topoloji bulunması gerekir Bu topoloji standart olarak Rn'den tetiklenen topolojidir M çokkatlısının bir noktası x, Hn'de açık V kümesine homeomorfik x 'in açık komşuluğu U olsun Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gönderiliyorsa, x noktasına çokkatlının kenar noktası, tüm kenar noktaların kümesine çokkatlının kenarı denir
Mesela, düzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den büyük olmayan kümeyi ele alalım Bu kümeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir çokkatlıdır Kenarı bir çemberdir Çember 1 boyutlu bir çokkatlıdır Kenarı yoktur
n boyutlu, taraflı bir çokkatlının kenarı, n1 boyutlu bir çokkatlıdır Bir çokkatlının kenarının kenarı yoktur (boşkümedir)
Bir çokkatlının içinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir çokkatlıysa, bu altuzaya altçokkatlı denir Yukarıda bir çokkatlının içinde bahşedilen bütün çokkatlılar altçokkatlı örnekleridir *
