Doğal Sayılar Konu Anlatımı

Doğal Sayılar Konu Anlatımı,
Doğal Sayılar Konu Anlatımı yazılı,
Doğal Sayılar Nedir

0, 1, 2, 3, , 50, devamlı sayılara doğal sayılar denir
Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir
D 0, 1, 2, 3, 4, 5,
İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir daha sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir
n bir doğal rakam iken;
Çift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir
Sayma Sayıları
Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir
S 1, 2, 3, 4, 5,

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bir takım noktaları ile birebir eşlenirse bu doğruya sayı açikçasi denir

ONLUK SAYMA DÜZENİ

Rakam sistemimiz onluk sayma düzenine göredir Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir Mesela, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır

RAKAM

Ona kadar olan doğal sayıları bildiren işaretlere sayi denir
Rakamlar kümesi : R 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olarak tanımlanır
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır

BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa kadar aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değerinde denir
Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir

SAYI DEĞERİ

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan kimsesiz gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir

TAHLIL

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya tahlil denir

2345 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir


2345 2000 + 300 + 40 + 5 veya
2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti)
5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti)
3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir

10 10 x 10 100
5 5 x 5 x 5 125
4 4 x 4 x 4 x 4 256
3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 243
2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir 3 3, 7 7, 10 10, 15 15
Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir 80 1, 9 1, 160 1, 0 1????:


Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir 7 7, 1000 1000, 64 64, 1 1
1 sayısının bütün kuvvetleri 1'e eşittir 1 1, 1 1, 1 1
Tabanları benzer olan üslü sayılar çarpılırken; müşterek taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır

ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME

Bir rakam üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü şeklinde yazılır

5679 (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Sayı açik konuşmak gerekirse üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( ) veya büyük ( ) işareti konur

Küçük Büyük
Büyük Küçük

işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı öteki taraftaki sayıdan küçüktür

DÖRT IŞLEM

DOĞAL SAYILARDA BIRLEŞTIRME

AB edinmek üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına birleştirme denir
A 1,2 ve B 3, 4, 5 ise
s(A) + s(B) s(AB) 2 + 4 6
Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir İşlemin sonucuna da toplam denir
Birleştirme işlemi, ileriye içten saymanın kısa yoldan yapılışıdır Benzer türden ve birimleri benzer olan çokluklar toplanabilir

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının toplamı yeniden bir doğal sayıdır Buna kapalılık özelliği denir

3D, 4D için 3 + 4 7D dir
9D, 13D için 9 + 13 22D dir
ISIM, bD için (a + b)D dir

DEĞIŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmeyen Buna toplamada değişme özelliği denir
3 + 5 8 5 + 3
ISIM, bD ise; a + b b + a dir

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmeyen Bu özelliğe
birleştirme işleminin birleşme özelliği denir

3 + (4 + 6) (3 + 4) + 6 3 + 10 7 + 6 13 13
AD, bD, cD ise (a + b) + c a + (b + c) dir

Çok terimli birleştirme işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır

ETKİSİZ (BIRIM) ELEMAN

Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir

5 + 0 5
0 + 6 6

Doğal sayılar kümesinde birleştirme işleminin etkisiz elemanı 0'dır

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA

A a,b,c,d,e B d,e
s(A) 5 ve s(B) 2 dir
s(A) s(B) s(C)
5 2 3 olarak gösterilir Burada 5 : azalan; 2 : meydana çıkan 3 : fark olarak adlandırılır

B A ise A B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir

Sonuç geriye saymanın kısa yapılışıdır Sağlaması; ab c ise a b + c olacak şekilde yapılır Sonuç işlemi toplamanın tersidir

ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Kapalılık özelliği yoktur 5D ve 6D için; 56 doğal rakam değildir
Değişme özelliği yoktur 6D ve 2D için; 62 4D; 26 doğal rakam değildir
Birleşme özelliği yoktur 7(52) (75)2 73 22 4 0
Doğal sayılar kümesinde sonuç işlemine göre etkisiz (bölüm) eleman yoktur 30 3 olmakla beraber 03 3'tür

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA

Elemanlarının sayısı tanıdık A ve B kümeleri için s(A) a, s(B) b ve s(A ) x s( B) m ise, m doğal sayısına a ile b'nin çarpımı denir m a x b şeklinde gösterilir Çarpma işareti ( x ) veya( )' dır


ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının çarpımı tekrar bir doğal sayıdır Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir

DEĞIŞME ÖZELLİĞİ

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir

4 x 5 20 5 x 4 20 4 x 5 5 x 4'tür
AD, bD için; a x b b x a 'dır

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir

4D, 5D, 2D için
4 x (5 x 2) (4 x 5) x 2 4 x 10 20 x 2; 40 40'tır

ETKİSİZ (BÖLÜM) ELEMAN

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (bölüm) elemanı denir

1 x 5 5 5 x 1 5 5 x 1 1 x 5 5'dir
ISIM için a x 1 1 x a a 'dır

YUTAN ELEMAN

Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir böylece 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir

4 x 0 0 0 x 4 0 4 x 0 0 x 4 0 'dır
AD için 0 x a a x 0 0 'dır

ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜSTÜNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

ISIM, bD, cD için a x (b + c) (a x b) + (a x c) ve
ISIM, bD, cD için a x (bc) (a x b) (a x c) 'dir
Bu özelliğe, çarpmanın toplama veya tümdengelim üstüne parçalanma özelliği denir

ÇARPMADA KOLAYLIKLAR

Bir sayıyı 10, 100, 1000, ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, sıfır yazılır

14 x 10 140
16 x 100 1600
22 x 1000 22000
7 x 10000 70000
Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, rakam 100 ile çarpılır Çarpım 4'e bölünür

25 x 36 (36 x 100)4 900

Bir sayı 50 ile çarpılırken, rakam 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür

78 x 50 (78 x 100)2 78002 3200

Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonradan 2'ye bölünür


89 x 5 (89 x 10)2 8902 445

Bir rakam 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır

56 x 9 (56 x 10)56, 56056 504

DOĞAL SAYILARDA BÖLME

AD, bD ve b0 edinmek üzere, a x b c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bölümü denir ab c ya da a:b c olarak gösterilir

BÖLMENİN SAĞLAMASI

Sağlama işlemi, Bölünen (bölen x birim) + kalan eşitliğiyle yapılır

Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir

BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur

4D, 3D için 43 doğal rakam değildir

Bölme işleminin doğal sayılarda değişiklik özelliği yoktur

5D, 15D için, 155 515

Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur

(244)2 24(42) 62 242 3 12

Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur

21 12 2 0,5

Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir

AD için a1 a dır 11 1, 391 39, 31 3, 1011 101

Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır

0a 0 'dır 04 0, 0100 0, 015 0

0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir

AD için aa 1 'dir 66 1, 109109 1, 1010 1, 8888 1

Bir doğal rakam sıfıra bölünemez

50 tanımsız, 120 tanımsız

Bir sayıyı 10, 100, 1000 ile bölünmek;

10'a bölerken bir sıfır silinir 40010 40
100'e bölerken iki sıfır silinir 200100 2
1000'e bölerken üç sıfır silinir 30001000 3 *