Doğal Sayılarda Dört İşlem

Doğal Sayılarda Dört Operasyon
Doğal Sayılarda Dört Işlem Örnekleri
Doğal Sayılar Dört operasyon Matematik Dersi konu anlatımı

0, 1, 2, 3, , 50, sürekli sayılara doğal sayılar denir

Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir


D 0, 1, 2, 3, 4, 5,

İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir

n bir doğal sayı iken;
Çift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 şeklinde gösterilir


Sayma Sayıları

Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir


S 1, 2, 3, 4, 5,

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşdeğer aralıklardaki bazı noktaları ile birebir eşlenirse bu doğruya rakam doğrusu denir




ONLUK SAYMA DÜZENİ

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır




SAYI

Ona değin olan doğal sayıları belirten işaretlere rakam denir
Rakamlar kümesi : R 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olarak tanımlanır
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır


BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa tarafından aldıkları değerlere basamak değeri veya bağıl değerinde denir


Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir

SAYI DEĞERİ

Rakamların rakam içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere rakam değeri veya mutlak değeri denir




ÇÖZÜMLEME

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, varsa bunları ayırarak toplam şeklinde yazmaya çözümleme denir


2345 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir


2345 2000 + 300 + 40 + 5 ya da
2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4'ün karesi, 4'ün ikinci kuvveti)
5 5 üssü 3 (5'in kübü, 5'in üçüncü kuvveti)
3 3 üssü 4 (3'ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç defa çarpılacağını gösterir

10 10 x 10 100
5 5 x 5 x 5 125
4 4 x 4 x 4 x 4 256
3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 243
2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir 3 3, 7 7, 10 10, 15 15
Üssü 0 olan sayı 1'e eşittir 80 1, 9 1, 160 1, 0 1
Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir 7 7, 1000 1000, 64 64, 1 1
1 sayısının tüm kuvvetleri 1'e eşittir 1 1, 1 1, 1 1
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; müşterek taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır

ÜSLÜ BİÇİMDE INCELEME

Bir rakam üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10'un üssü biçiminde yazılır

5679 (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)


DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Rakam açik konuşmak gerekirse üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür Doğal sayılar sıralanırken aralarına ufak ( ) veya büyük ( ) işareti konur


Küçük Büyük
Büyük Minik

işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı öteki taraftaki sayıdan küçüktür






DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA

AB olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına birleştirme denir

A 1,2 ve B 3, 4, 5 ise
s(A) + s(B) s(AB) 2 + 4 6

Birleştirme işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir İşlemin sonucuna da toplam denir

Toplama işlemi, ileriye içten saymanın kısa yoldan yapılışıdır Benzer türden ve birimleri benzer olan çokluklar toplanabilir




TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının toplamı yeniden bir doğal sayıdır Buna kapalılık özelliği denir

3D, 4D için 3 + 4 7D dir
9D, 13D için 9 + 13 22D dir
ISIM, bD için (a + b)D dir

DEĞIŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez Buna toplamada değiştirme özelliği denir

3 + 5 8 5 + 3

AD, bD ise; a + b b + a dir

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmeyen Bu özelliğe
birleştirme işleminin birleşme özelliği denir

3 + (4 + 6) (3 + 4) + 6 3 + 10 7 + 6 13 13
AD, bD, cD ise (a + b) + c a + (b + c) dir

Fazla terimli birleştirme işlemlerinde terimler kendi arasında gruplandırılarak operasyon kolaylığı sağlanır

ETKİSİZ (BÖLÜM) ELEMAN

Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir

5 + 0 5
0 + 6 6

Doğal sayılar kümesinde birleştirme işleminin etkisiz elemanı 0'dır

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA

A a,b,c,d,e B d,e
s(A) 5 ve s(B) 2 dir
s(A) s(B) s(C)
5 2 3 olarak gösterilir Burada 5 : azalan; 2 : çıkan 3 : ayrım olarak adlandırılır

B A ise A B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir Bu farkı bulmak için yapılan işleme tümdengelim işlemi adı verilir




Tümdengelim geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır Sağlaması; ab c ise a b + c olacak şekilde yapılır Tümdengelim işlemi toplamanın tersidir

ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Kapalılık özelliği yoktur 5D ve 6D için; 56 doğal sayı değildir
Değişme özelliği yoktur 6D ve 2D için; 62 4D; 26 doğal sayı değildir
Birleşme özelliği yoktur 7(52) (75)2 73 22 4 0
Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine tarafından etkisiz (birim) eleman yoktur 30 3 olmakla beraber 03 3'tür

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA

Elemanlarının sayısı tanıdık A ve B kümeleri için s(A) a, s(B) b ve s(A ) x s( B) m ise, m doğal sayısına a ile b'nin çarpımı denir m a x b biçiminde gösterilir Çarpma işareti ( x ) ya da( )' dır




ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

KAPALILIK ÖZELLİĞİ

İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir

DEĞIŞTIRME ÖZELLİĞİ

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmeyen Bu duruma çarpmanın değiştirme özelliği denir

4 x 5 20 5 x 4 20 4 x 5 5 x 4'tür
AD, bD için; a x b b x a 'dır

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ

Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir

4D, 5D, 2D için
4 x (5 x 2) (4 x 5) x 2 4 x 10 20 x 2; 40 40'tır

ETKİSİZ (BIRIM) ELEMAN

Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (bölüm) elemanı denir

1 x 5 5 5 x 1 5 5 x 1 1 x 5 5'dir
ISIM için a x 1 1 x a a 'dır

YUTAN ELEMAN

Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir

4 x 0 0 0 x 4 0 4 x 0 0 x 4 0 'dır
ISIM için 0 x a a x 0 0 'dır

ÇARPMANIN BIRLEŞTIRME VE ÇIKARMA ÜZERINE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

AD, bD, cD için a x (b + c) (a x b) + (a x c) ve
ISIM, bD, cD için a x (bc) (a x b) (a x c) 'dir
Bu özelliğe, çarpmanın birleştirme veya sonuç üstüne dağılma özelliği denir

ÇARPMADA KOLAYLIKLAR

Bir sayıyı 10, 100, 1000, ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, sıfır yazılır

14 x 10 140
16 x 100 1600
22 x 1000 22000
7 x 10000 70000
Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, rakam 100 ile çarpılır Çarpım 4'e bölünür


25 x 36 (36 x 100)4 900

Bir rakam 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür


78 x 50 (78 x 100)2 78002 3200

Bir sayı 5'le çarpılırken, rakam 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür


89 x 5 (89 x 10)2 8902 445

Bir sayı 9'la çarpılırken, rakam 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır

56 x 9 (56 x 10)56, 56056 504

DOĞAL SAYILARDA BÖLME

AD, bD ve b0 elde etmek üzere, a x b c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bölümü denir ab c veya a:b c olarak gösterilir




BÖLMENİN SAĞLAMASI

Sağlama işlemi, Bölünen (bölen x birim) + kalan eşitliğiyle yapılır


Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir

BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur

4D, 3D için 43 doğal rakam değildir

Bölme işleminin doğal sayılarda değişiklik özelliği yoktur

5D, 15D için, 155 515

Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur

(244)2 24(42) 62 242 3 12

Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur

21 12 2 0,5

Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir

ISIM için a1 a dır 11 1, 391 39, 31 3, 1011 101

Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır

0a 0 'dır 04 0, 0100 0, 015 0

0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir

ISIM için aa 1 'dir 66 1, 109109 1, 1010 1, 8888 1

Bir doğal sayı sıfıra bölünemez

50 tanımsız, 120 tanımsız

Bir sayıyı 10, 100, 1000 ile taksim etmek;


10'a bölerken bir sıfır silinir 40010 40
100'e bölerken iki sıfır silinir 200100 2
1000'e bölerken üç sıfır silinir 30001000 3 *