Türkiye'nin en güncel forumlardan olan forumdas.com.tr'de forumda aktif ve katkısı olabilecek kişilerden gönüllü katkıda sağlayabilecek kişiler aranmaktadır.
iltasyazilim
FD Üye
e sayısı
e sayısı nedir
e sayısının anlamı nedir
e sayısının espirisi nedir
euler sayısı
e sayısı ya da Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel rakam, doğal logaritmanın tabanı e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda sayı kullanılarak yazılamaz Yaklaşık değeri şöyledir:
e 2,71828182845904523536
Tarih
e sabitine dolaylı olarak birincil değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur Napier, 1618'de logaritmalar üstüne yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır;ama sabitin kendisiyle pozitif ilgilenmemiştir e sayısını reel anlamda birincil keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşmiş faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının takriben değerini hesaplamıştır Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir Euler başlangıçta 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten e sayısıdiye bahsetmiştir Euler öncesi ve sonrasında bu değişmez için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen ad e olmuştur
Euler e sayısını, virgülden sonra 23 basamağına dek hesaplayabilmiştir Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir e,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler kadar,aşkın bir rakam olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır
Eşdeğer tanımlar
1 e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi karşılayan yegâne fazla hakiki sayıdır:
2 e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif gerçek sayıdır:
Buradaki logex ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir
3 e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:
4 e sayısı, aşağıdaki sonsuz birleştirme eşittir
Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! 1 × 2 × 3 × × n
5 e sayısı, aşağıdaki integral denklemini karşılayan yegâne pozitif hakiki sayıdır:
Beşinci tanıma tarafından, 1 x e için y 1x eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir
Uygulamalar
Birleşmiş faiz problemi
Jakob Bernoulli,e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir yıl sonra 2 lirası olacaktır Diğer yanlamasına bu takvim faiz %50 – %50 biçiminde yılda iki kez işlerse, yatırımcının sene sonundaki parası (1 + ½)² 2,25 lira olacaktır Aynı şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının sene sonundaki parası (1 + 14)4 2,4414 lira olacak, faiz her ay %8,333 oranında işlerse sene sonundaki para (1 + 112)12 2,6130 lira olacaktır Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925 lira, her gün işleyen faiz sene sonunda 2,71453 lira verecektir
Faizin işleme süresi kısaldıkça, sene sonundaki para 2 ve 3 arasında belirli bir değere yakınsamaktadır Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere yakınsanan değer e sayısıdır
Bernoulli denemeleri
e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1n olan bir oyunu n kere oynarsa, takriben 1e (%36,787) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1e,ye böylece yakın olur
Kumarcının n seferde k defa kazanma olasılığı, binom dağılımına tarafından aşağıdaki değere eşittir:
Buna göre, n seferde k 0 kere kazanma olasılığı, (1 1n)ndir, ve bu açıklama, n büyüdükçe 1e,ye yaklaşır
Şapka problemi
Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:
Herif sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1e değerine yaklaşacaktır *
e sayısı nedir
e sayısının anlamı nedir
e sayısının espirisi nedir
euler sayısı
e sayısı ya da Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel rakam, doğal logaritmanın tabanı e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda sayı kullanılarak yazılamaz Yaklaşık değeri şöyledir:
e 2,71828182845904523536
Tarih
e sabitine dolaylı olarak birincil değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur Napier, 1618'de logaritmalar üstüne yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır;ama sabitin kendisiyle pozitif ilgilenmemiştir e sayısını reel anlamda birincil keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşmiş faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının takriben değerini hesaplamıştır Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir Euler başlangıçta 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten e sayısıdiye bahsetmiştir Euler öncesi ve sonrasında bu değişmez için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen ad e olmuştur
Euler e sayısını, virgülden sonra 23 basamağına dek hesaplayabilmiştir Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir e,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler kadar,aşkın bir rakam olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır
Eşdeğer tanımlar
1 e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi karşılayan yegâne fazla hakiki sayıdır:
2 e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif gerçek sayıdır:
Buradaki logex ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir
3 e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:
4 e sayısı, aşağıdaki sonsuz birleştirme eşittir
Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! 1 × 2 × 3 × × n
5 e sayısı, aşağıdaki integral denklemini karşılayan yegâne pozitif hakiki sayıdır:
Beşinci tanıma tarafından, 1 x e için y 1x eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir
Uygulamalar
Birleşmiş faiz problemi
Jakob Bernoulli,e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa,bir yıl sonra 2 lirası olacaktır Diğer yanlamasına bu takvim faiz %50 – %50 biçiminde yılda iki kez işlerse, yatırımcının sene sonundaki parası (1 + ½)² 2,25 lira olacaktır Aynı şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının sene sonundaki parası (1 + 14)4 2,4414 lira olacak, faiz her ay %8,333 oranında işlerse sene sonundaki para (1 + 112)12 2,6130 lira olacaktır Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925 lira, her gün işleyen faiz sene sonunda 2,71453 lira verecektir
Faizin işleme süresi kısaldıkça, sene sonundaki para 2 ve 3 arasında belirli bir değere yakınsamaktadır Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere yakınsanan değer e sayısıdır
Bernoulli denemeleri
e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1n olan bir oyunu n kere oynarsa, takriben 1e (%36,787) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1e,ye böylece yakın olur
Kumarcının n seferde k defa kazanma olasılığı, binom dağılımına tarafından aşağıdaki değere eşittir:
Buna göre, n seferde k 0 kere kazanma olasılığı, (1 1n)ndir, ve bu açıklama, n büyüdükçe 1e,ye yaklaşır
Şapka problemi
Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:
Herif sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1e değerine yaklaşacaktır *
