Euler-Bernoulli ve Timoshenko Kiriş Teorilerinin Karşılaştırılması

EulerBernoulli Kiriş Teorisi
EulerBernoulli kiriş teorisi veya diğer adıyla sadece kiriş teorisi, akıcı izotropik bir kirişin elastikliğinin basitleştirilmiş bir ifadesidir Bu kuram ile kirişlerin yük taşıma ve depresyon karakteristikleri hesaplanır ilk önce 1750 ’de söylenmiştir ama 19 yüzyıldaki Eiffel Tower ve Ferris Wheel yapılarına kadar geçen süren sürede büyük ölçekte kabul görmemiştir Bu başarılı örneklerinden daha sonra ise, çabucak önemi artmış ve mühendisliğin yapıtaşlarından biri haline gelmiştir bununla birlikte ikinci endüstriyel devrimin de tetikleyicilerinden biridir
Zamanla düzlem teorisi ve sonlu elemanlar analizi gibi ilave tahlil araçları geliştirilmiştir fakat, kolay kiriş teorisi bilmin gereklilik duyduğu en kayda değer araç olmaya devam etmiştir Bilhassa sivil ve mekanik mühendislik alanlarında büyük tartma taşımıştır
Tarihçe
Birincil kiriş teorisi geliştirme girişimi Galileo Galilei kadar yapılmış lakin çalışmalarıyla buna karşısında meydana çıkan Leonardo da Vinci ciddi gözlemleri ile Galilei ’yi daha aşağı etmeyi başarmıştır daha sonra Galileo, Leonardo da Vinci ’nin eksik Hooke Kanunu ve calculus teorisi ile yaptığı hatalı bir kabul vesilesiyle onu mağlup etmiş ve ününü geri kazanmıştır
Bernoulli kirişi adını kayda değer buluşlara imza atan Jacob Bernolli ’den sonradan almıştır Leonard Euler ve Daniel Bernoulli bu elverişli teoriyi ortaya koyan ilk kişilerdir Bu sıralarda bilim ve endüstri alanları farklı taraflara ayrılmıştı ve akademisyenlerin oluşturduğu matematik çözümlere değişkenlik ile bakılırken pratik olarak tehlikesiz ve kullanışlı uygulamalara güveniliyordu Köprüler ve binalar 19 yüzyılda EulerBernoulli kiriş teorsinin Eiffel Kulesi gibi büyük ölçekte uygulamaları görülene kadar bilinen yöntemlerle yapılmaya devam etti
Kiriş Denklemi
Uzun ince tek boyutlu izotropic malzemeden yapılmış kabul edilen bir kiriş için, elastiklik eğrisi şöyle tanımlanır:

Bu EulerBernoulli denklemi olarak bilinir Kirişi x ekseni doğrultusunda bir boyutlu nesne gibi düşünürsek, u(x) eğrisi kirişteki çökmeyi tanımlar Yayılı siklet yani basıncın bir ifadesi olarak belirtilen w ise, x, u ve öteki değişkenlerin bir fonksiyonudur E elastiklik modülüdür, I ise eylemsizlik modülüdür
Burada, u u(x), w w(x), ve EI sabittir, yani:

Bu denklem sürükleyici sabit bir kirişte çökmeyi tanımlar ve mühendislik uygulamalarında kullanılan en esas öğelerden birisidir
Terimlerin anlamları şunlardır:
• çökmedir
• kirişin eğimidir
• kirişin eğilme momentidir
• kirişteki kayma gerilmesidir
Bu kiriş kabule göre bir boyutlu nesne olarak tanımlıdır Kiriş sürükleyici olmalı ve yayılı yükler düzlem içinde bulunmalı ve burulma olmamalıdır
Bu sadeye çekme gerilmesi aşağıdaki biçimde tanımlanır:

Buradaki c, u doğrultusundadır ve objektif eksenle kuvvetin uygulanma doğrultusundaki mesafesini gösterir M eğilme momentidir Kirişin kesitini göz önüne alırsak en üstteki kısımda çekme, en daha alçak kısımda ise basma gerilmeleri oluşur, bunlar bununla birlikte kirişteki azami gerilmelerdir Kesidin bütün ortadan geçen tarafsız eksen bir başka adıyla bayağı eksende ise, çekme ve basma gerilmesi değeri sıfırdır
Hudut Şartları
Kiriş denklemi x ’e tarafından türev alınarak hesaplanan maksimum dört hudut şartına sahiptir Sınır şartları genellikle model destekleri yani onların noktaya etki eden yükleri, momentler ve diğer etkilerden oluşur

Mesnetli Kiriş
Mesnetli kirişten bir örnek: Tek ucundan hiç hareket etmeyecek şekilde sabit olan kirişin diğer ucu da adamakıllı serbesttir Hiç hareket etmeyecek şekilde değişmez deyince bastırma ve eğimin sıfır, ayrıntılarıyla özgür deyince de kayma kuvveti ve eğilme momentinin sıfır olduğu anlaşılması mümkün EI ’nın sabit olduğu durumda, x ’in en sol koordinatı sıfır olarak alınır ve en sağ tarafı da L olarak düşünüldüğünde(L kirişin boyu olur) hudut şartları belirlenmiş olur:

En tanıdık sınır şartları aşağıdakileri içerir:
• sabit bir destek olduğunu gösterir
• pin bağlantısı olduğunu gösterir (depresyon ve moment sıfırdır)
• bağlantı ve dolayısıyla önem olmadığını gösterir
• uygulama noktasında Fbüyüklüğünde bir zor olduğunu gösterir
Doldurma Durumu
Başvuru Formu yükü sınır şartları aşağı veya w ’nin fonksiyonu olarak bulunabilir Yayılı yükleme rahatlık açısından çoğunlukla tercih edilir Sınır şartları modeldeki yüklerin belirlenmesinde ve bilhassa titreme analizlerinde kullanılır
Nokta yükler modellenirken delta fonksiyonu muavin olarak kullanılır Mesela değişmez mesnetli L uzunluğundaki bir kirişi düşünelim ve bunun özgür ucunun üst noktasına F yükü etki etsin Hudut şartlarını göz önüne alarak şu şekilde açıklama edilebilir:

Fonksiyon olarak,

Kayma gerilmesinin hudut şartları(3 Türev) kaldırıldı, aksi halde burada bir çelişki olurdu Bunlar aynı hudut değeri problemleridir ve her ikisi de benzer sonuca çıkar:

Birkaç noktasal yükün bambaşka bölgelerde yüklendiği uygulamalarda u(x) önemli bir fonsiyona sahiptir Bu fonksiyonun kullanımı durumu çok basite indirger, somurtkan taktirde kiriş her biri 4 bambaşka hudut şartına sahip olan bölümlere ayrılmak zorunda olurdu
Zeki formülasyon ile çoğu farklı yük ve bu yüklerin oluşturduğu ilginç problemler rahatlıkla çözümlenebiliyor Bunun örneği olarak, kirişteki titreşimler yükün bir fonksiyonu olarak kullanılarak hesaplanabilir:

Burada ? kirişin doğrusal yoğunluğudur ve şüphesiz bir değişmez değildir Bu zamana emrindeki yük değişikliği denklemi kısmi diferansiyel bir eşitlik haline getirir Bir diğer acayip misal ise, kirişteki dönme hareketinin değişmez açısal hız ? ile tanımlanmasıdır:

Timoshenko Kiriş Teorisi
Bu teori kirişteki kayma ve dönmenin oluşturduğu eylemsizlik momentini faktörlerinin EulerBernoulli teorisine ek edilmişidir yani bir bakıma daha geliştirilmişidir Kirişteki kayma gerilmeleri eğilme esnasında nesnenin iç yapısındaki deformasyonlar nedeniyle titreşimi sonucunda ortaya çıkar Bu enine titreşimler, kirişe uygulanan dış kuvvetlere yani bunun oluşturduğu torka ve kirişin malzeme özelliklerine bağlıdır Kirişte kayma etkilerinin göz önüne alınması için efektif bir kayma alanına gereksinim vardır Timoshenko ’nun kayma faktörü (k1) bu alanı kA biçiminde ifade eder
Timoshenko teorisinde hesaplamalar yapılırken kayma ve eylemsizlik momenti de göz önüne alındığından sonuç EulerBernoulli teorisine kadar defalarca daha büyük çıkar Timoshenko teorisi gerçeğe daha yakın sonuçlar veren bir teoridir Özellikle büyük kesitli çok daha isabetli sonuçlar verdiğinden bu kuram, kalın kiriş teorisi olarak bilinir EulerBernoulli teorisi ise, bütün tersi yönde yani ince kiriş teorisi olarak bilinmektedir Bu iki teoriyle çözülen kiriş problemlerinde kiriş uzunluğu(L) ’nin kesit yüksekliği(h) ’a oranı büyüdükçe sonuçlar birbirine yaklaşır Yani kesinkes diyebiliriz ancak, Lh oranı minik olan problemlerde Timoshenko çok daha dürüst sonuçlar vermektedir

Timoshenko teorisinde ise,

biçiminde hesaplanır

K:Timoshenko kayma katsayısı (?Dikdörtgen kesit için: ??^212?0,822)
E:Elastiklik modülü
G:Kayma elastiklik modülü
Sonuç
Timoshenko ve EulerBernoulli teorileri genel olarak kirişlerdeki sehim ve gerilmelerin hesaplandığı denklemlerden oluşur İki teori de aynı amaca hizmet ederler Temelde her iki kuram de aynı amacı hizmet ediyor olsa da arasında belli başlı farklılıklar bulunmaktadır ve bu farklılıkları şöyle izah edebiliriz
Bu teorileri tek taraftan mesnetli basit bir kiriş düzeneğinde düşünürsek, kirişin hür ucundan uygulanan tekil bir önem için EulerBernoulli teorisinde sadece bu kuvvetin oluşturduğu momentten kaynaklanan eğilme hesap edilir Timoshenko teorisinde ise, bu kuvvetin oluşturduğu momentin yanı sıra kirişte malzemede kaynaklanan deformasyonlar ve dikey kuvvetler nedeniyle oluşan kayma gerilmeleri ve eğilme sonucunda dönme etkisiyle ortaya meydana çıkan eylemsizlik momenti de hesaba katılır bu nedenle Timsohenko teorisiyle bulunan bir problem çözümünün mutlaka EulerBernoulli teorisine tarafından daha içten sonuçlar vermesi beklenir Burada diğer bir fazla manâlı nokta vardır ama o da, Timoshenko teorisinin kalın kirişlerde 6 kata dek daha büyük ve doğru netice vermesidir bu nedenle Timoshenko teorisi “kalın kiriş teorisi olarak da bilinir Kiriş inceldiğinde ise, iki kuram arasındaki netice farkı azalmaktadır ve ince kirişlerde nispeten fazla yakın sonuçlar alınmaktadır
*