Fonksiyonlar

A TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun A nın her elemanı B nin elemanlarıyla asgari bir defa ve en fazla bir kere eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir Fonksiyonlar f ile gösterilir

x Î A ve y Î B almak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) y biçiminde gösterilir



Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f (a, 1), (b, 1), (c, 2)ç (d, 3)

şeklinde de gösterilir

Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır Lakin her bağıntı fonksiyon olmayabilir

Ü Manzara kümesi layık kümesinin daha aşağı kümesidir

Ü s(A) m ve s(B) n elde etmek üzere,

A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir
B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m n – nm dir
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlayışlı olmak için, y eksenine paralel doğrular çizilir Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride minimum bir ve en fazla bir noktayı kesiyorsa bahşedilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur

B FONKSİYONLARDA DÖRT OPERASYON

f ve g birer fonksiyon olsun

f : A ® IR

g : B ® IR

elde etmek üzere,

i) f ± g: A Ç B ® IR

(f ± g)(x) f(x) ± g(x)

ii) f g: A Ç B ® IR

(f g)(x) f(x) g(x)





C FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1 Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda bambaşka elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir

x1, x2 Î A için, f(x1) f(x2)iken

x1 x2 ise f fonksiyonu bire birdir

Ü s(A) m ve s(B) n (n ³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı





2 Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi bedel kümesine eşdeğer olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir

f : A ® B

f(A) B ise, f örtendir

Ü s(A) m elde etmek üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

Ü m! m (m – 1) (m – 2) 3 2 1 dir



3 İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir

Ü İçine fonksiyonun değerinde kümesinde eşlenmemiş eleman vardır

Ü s(A) m elde etmek üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
mm – m! dir



4 Bölüm (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona bölüm fonksiyon denir

f : IR ® IR

f(x) x

birim (etkisiz) fonksiyondur

Ü Bölüm fonksiyon çoğunlukla I ile gösterilir

5 Değişmez Fonksiyon

Betimleme kümesindeki tüm elemanları layık kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir

Ü x Î A ve c Î B için

f : A ® B

f(x) c

fonksiyonu sabit fonksiyondur

Ü s(A) m, s(B) n almak üzere,

A dan B ye n tane değişmez fonksiyon tanımlanabilir



6 Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur

f(– x) – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur

Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine tarafından simetriktir

Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir



D EŞIT FONKSİYON

f : A ® B

g : A ® B

x Î A için f(x) g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir



E PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

almak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir

A a, b, c edinmek üzere, f : A ® A

f (a, b), (b, c), (c, a)

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup





F TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur



Ü Uygun koşullarda, f(a) b Û f – 1(b) a dır

Ü f : IR ® IR, f(x) ax + b ise, f – 1(x) dır

Ü

Ü (f – 1) – 1 f dir

Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir

Ü y f(x) in belirttiği eğri ile y f – 1(x) in belirttiği eğri y x doğrusuna tarafından simetriktir

Ü B Ì IR edinmek üzere,



Ü B Ì IR almak üzere,





G BİLEŞKE FONKSİYON

1 Tasvir

f : A ® B

g : B ® C

elde etmek üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur

(gof)(x) gf(x) tir



2 Bileşke Fonksiyonun Özellikleri

i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur

fog ¹ gof

Bazı fonksiyonlar için fog gof olabilir Ama bu bileşke işleminin değiştirme özelliği olmadığını değiştirmez

ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır

fo(goh) (fog)oh fogoh

iii) foI Iof f

olduğundan I(x) x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır

iv) fof – 1 f – 1of I

olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir

v) (fog) – 1 g – 1of – 1 dir *