Hiperbolik Geometri Hakkında Bilgi

Hiperbolik Geometri Hakkında Veri

Hiperbolik Geometri

Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir belitle ayrılır Öklit'in paralellik belitinin tersini dürüst olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel dürüst geçebilir Ayrıca bir üçgenin iç açıları toplamı defalarca iki tane düşey açıdan küçüktür
Konu başlıklar

Tarih


Hiperbolik geometri alanındaki ilk araştırmacılar paralellik beliti çevresinde bir uyuşmama bulmaya çalışanlardan oluşuyordu: Proclus, Ömer HayyamNasir alDin alTusi, ve daha sonra Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis, Lambert, ve Legendre On dokuzuncu yüzyılda János Bolyai ve Nikolai Ivanovich Lobachevsky'ın çalışmaları fazla etkili oldu, böylece ama Hiperbolik Geometri'nin bazı parçaları onların isimleriyle anılıyor Karl Friedrich Gauss da bu alanda çalıştı, ama çalışmalarını rahat tuttu Ardından Eugenio Beltrami modeller sağladı, ve bu modelleri kullanarak eğer Öklid Geometrisi tutarlıysa hiperbolik geometrinin de sürekli olduğunu kanıtladı
Hiperbolik Geometride (hiperboloit geometrisi saddle geometry veya Lobachevskian geometrisi olarak da adlandırılır)paralellik terimi sadece hiperbolik düzlemde kesişmeyen ancak çemberde sonsuzda kesişecek olan bir doğru çiftini açıklamak için kullanılır Eğer bu içten çifti ne hiperbolik düzlemde ne de çemberde sonsuzda kesişirse (yani her iki durumda da kesişmezse) aşırıparalel olarak adlandırılırlar Hiperbolik düzlemin dikkate bedel bir özelliği her aşırıparalel doğru çifti için iki dürüst için iki taraflı olan sadece bir tek bir dikme çizilebilir (Bkz aşırıparalel teorisi)

Hiperbolik geometrinin Öklid Geomertisine tanıdık olmayan olan o kadar fazla özelliği vardır, ve bütün bu farklılıklar hiperbolik belitinin bir sonucu olarak karşımıza çıkar
Modeller

Bu geometri, öklit uzayının bir altuzayı olarak düşünülebilir Bu durumda hiperbolik geometri doğrusu çift yanaklı bir hiperboloitin bir yanağının yüzeyindeki geometri olarak alınabilir Bu çanak yüzeyini bir düzleme izdüşümleyerek dağıtılmış modeller oluşturulabilir

KleinBeltrami Modeli

Eğer tepede olan izdüşüm yapılırsa KleinBeltrami modeli elde edilir Bu modelde hiperbolik düzlem bir dairenin içindeki Öklitçi noktalardan oluşur ve doğrularsınır çemberin kirişleridir Çemberin üzerindeki noktalar geometriye dahil olmayacağından burada kesişen iki kiriş gerçekten paralel olacaktır, bu kirişlere yakınsak paralel doğru denir Eğer en ince ayrıntısına kadar ayrık iki kiriş ise yalnızca paralel veya bazen paralel ötesi doğrular denir

Poincaré Disk Modeli

Eğer hiperboloide stereografik izdüşüm uygulanırsa bu sefer oluşturulan modele Poincaré disk modeli denir Burada geometri yeniden bir çemberin içinde kalan noktalardan oluşacaktır oysa doğrular bu çembere tepede olan olan çember yayları olacaktır Bu izdüşümün en önemli özelliği açıları ve çemberleri korumasıdır Bu modelin çözümlemeli geometrisi için Hilbert, uçlar aritmetiğini geliştirmiştir

Poincaré SözdeDüzlem Modeli

Eğer hiperboloit XY düzlemine dik olan bir düzleme izdüşümlenirse, oluşan model Poincaré yarıdüzlem modelidir Bu modelde hiperboloit düzlemin belirlenmiş bir doğrusunun yarattığı bir yarısındaki noktalara eşlenmiştir ve doğrular bu ayıran doğruya dik olan ya öklitçi ışınlardır ya da çember yaylarıdır




*