Matematik İşlem Konusu

Operasyon konu anlatımı
işlem ile ilgili sorular
işlemin özellikleri

A'yı anlamsız olmayan bir küme olarak kabul edelimn A X A kümesinden A kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde tanımlı ikili operasyon veya A kümesine tanımlı operasyon denir
İşlemi Å , ¡, * gibi sembollerle gösteririz
Örnek; x ve y Hakiki sayıları için, x*y x+y+2xy
işlemi tanımlanıyor ( 4,2 ) seri ikilisine karşı gelen rakam kaçtır?
Çözüm;
x*y x+y+2xy işleminde x 4 ve y 2 yazacağız
4*2 4+2+242 24 bulunur
Burada işlemin tanımına tarafından 4 ile 2 yi işleme aldığımızda 24 çıkıyor Bu sonucu daha önce gördüğümüz dört işlemden hiçbirinde bulamayız
4 + 2 8, 4 2 2, 42 8, 4:2 2
Daha önce öğrendiğimiz dört esas işlemi kullanarak birçok yeni işlemler üretebiliriz Mesela
b a—a2 + b2
x¡y xy 2x
x?y ( x y ) + y4
işlemleri bunlardan bazılarıdır

Niçin Farklı İşlemlere Lüzum Duyulmuştur?
Mesela biliyoruz ki bir futbol takımı galibiyete 3, beraberliğe 1 puan almaktadır Bir futbol takımının puanını
g¡b 3g + b işlemiyle bulabiliriz
bir takım 8 galibiyet, 5 beraberlik almış ise puanı :
8¡5 38 + 5 29 olur
sonuç olarak dört operasyon yardımıyla tanımladığımız bu yeni işlemler birkaç hesabı içinde barındırır ve kolaylık sağlar Sözün özü artan teknoloji, büyüyen ihtiyaçlar ve çağımızın dakiklik çağı olması sebebiyle matematik bu ihtiyaçlara cevap verebilecek işlemleri ve enstrümanları geliştirmektedir

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

BİR KÜMENİN BİR İŞLEME GÖRE KAPALILIĞI
? işlemi anlamsız olmayan bir A kümesinde tanımlı bir işlem olsun A ' nın her x ve y elemanı için , x?y işleminin sonucu daima A kümesinin bir elemanı olursa A kümesi ? işlemine göre kapalıdır denir
Misal; x ve y iki tamsayıdır * işlemi x*y xx +3y olarak tanımlanıyor * işlemi tamsayılar kümesinde kapalımıdır?
Çözüm; * işleminin kapalı olması için bütün sayılar kümesinden tüm elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü tamsayı olmalıdır
İşlemi iki parçada düşünelim: x*y xx +3y
Herhangi iki x ve y tamsayısı alalım
xx bir tamsayının kendi kuvvetidir Mesela
11 , 22 , 33 , 44 , gibi sayıları hesaplarsak sonuçları her zaman tamsayı çıkar
3y ifadesi bir tamsayının 3 ile çarpılacağı anlamındadır Her tamsayının 3 ile çarpımı yine tamsayıdır
x*y xx +3y İşleminin iki parçası da tamsayıdır
Bu parçaların toplamı tekrar tamsayı olur O halde işleme aldığımız tüm tamsayılar neticede yine tamsayı veriyor
Işlem bütün sayılar kümesinde kapalıdır
Misal; y xy 2x işlemi doğalÑx sayılar kümesinde kapalımıdır?
Çözüm; işleminin kapalı olması için doğal sayılarÑ kümesinden bütün elemanları işleme aldığımızda sonuçların tümü doğal rakam olmalıdır Fakat ;
x 5 ve y 4 alırsak
y xy 2x işlemiÑx
4 54 25 Ñ5 10 bulunur
işlemi doğal sayılar kümesindeÑ10 doğal rakam olmadığından kapalı değildir

Örnekler
1 Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalımıdır?
Çözüm; Renkler kümesinden iki renk alıp karıştıralım, karışım sonucu yine bir renk olur Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalıdır
2 Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalımıdır?
Çözüm; Sıvılar kümesinden iki değişken alıp karıştırdığımızda, karışım sonucu yeniden bir sıvı olur mu? Ara Sıra olmaz İki sıvının karışımının katı olduğu da vardır Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalı değildir
3 Hayvanlar kümesi Üreme işlemine kadar kapalımıdır?
Çözüm; Hayvanlar kümesinin üreme işlemine kadar kapalı olması gayet doğaldır Çünkü üreme sonuçları defalarca hayvanlar kümesinden bir eleman yani bir hayvan olur, hiçbir zaman iki hayvanın üremesinden öbür bir şey mesela bitki çıkmaz

DEĞİŞME ÖZELLİĞİ

A boş olmayan bir küme ve * işlemi A kümesinde tanımlı bir işlem olsun A'nın tüm x ve y elemanları için
x*y y*x oluyorsa yani işlemin sırası değişse de sonuç değişmiyor ise * işlemi A kümesinde değişmelidir denir
Örnek; x ve y reel sayıdır x*y x2 y2
şeklinde tanımlanan * işlemi değişmelimidir?
Çözüm; İşlemde x 3 ve y 6 koyalım
x*y x2 y2 32 62 27
y*x y2 x2 62 32 27
O halde * işlemi değişmeli değildir

Örnekler
1Karıştırma işlemi renkler kümesinde değişmelimidir?
Çözüm; Renkler kümesinden iki renk sözgelimi mavi ile sarı alıp karıştıralım, karışım sonucu yeşil olur Eğer önce sarı sonradan mavi alıp karıştırırsak yeniden yeşil çıkar Bu hep böyledir Renkleri karıştırırken sıranın önemi yoktur Karıştırma işlemi renkler kümesinde değişmelidir
2 Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde değişmelimidir?
Çözüm; Sıvılar kümesinden iki sıvı alıp karıştırdığımızda, sıranın önemi olmaz Yani sirke ile limon, limon ile sirkenin aynıdır Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde değişmelidir

BİRLEŞME ÖZELLİĞİ
TANIM; işlemi A ’ da tanımlı birÑA anlamsız olmayan bir küme işlem olsun A kümesinden alınan üç x,y ve z elemanı
zÑ(yÑz) (xÑy)Ñz
Şartını sağlıyorsa Ñ işlemi birleşme özeliğine sahiptir
Özet Olarak üç elemanın işleminde işlemin sırası değişebiliyorsa birleşme özeliği vardır
Örnek; Tamsayılar kümesinde x Ñ y x+4y biçiminde tanımlanan Ñ
işlemi birleşme özelliğine sahip midir?
Çözüm;
(x Ñ y) Ñ z (x+4y)Ñ z x+4y +4z
x Ñ (y Ñ z) x Ñ (y+4z) x+4y +16z
Sonuçlar bambaşka olduğundan işlemin birleşme özeliği yoktur

BIRIM (ETKİSİZ ) ELEMAN
TANIM; A abes olmayan bir küme ve ¡ ifadesi A ’ da tanımlı bir işlem olsun ve her x elemanı için A kümesinde
x¡e e¡x x
özelliğini sağlayan bir tek e elemanı varsa bu elemana ¡ işleminin etkisiz veya birim elemanı denir




Örnek; Tamsayılar kümesinde x*y x+y3 şeklinde tanımlanmış * işleminin etkisiz (bölüm) elemanını bulalım
Çözüm; * işleminin etkisiz elemanına e diyelim,
x*e e*x x olmalıdır
x*e x+e3 x eşitliğini çözersek e 3 bulunur
e*x e+x3 x eşitliğini çözersek e 3 bulunur
O halde * işleminin etkisiz elemanı 3 ’ tür
Zıt Eleman
TANIM; A anlamsız olmayan bir küme ve * işlemi A ’ da tanımlı bir işlem olsun Bu işlemin etkisiz elemanı e olsun A' nın her x elemanı için,
x*x1 x1 *x e
olacak şekilde A kümesinde bir tane x1 elemanı varsa x1 , x in * işlemine tarafından tersidir

Örnek; x?y x+y3 işlemi tanımlanıyor Bu işleme göre, 4 ‘ün tersi kaçtır?
Çözüm; 4 ’ ün tersini bulmak için önce ? işleminin etkisiz elemanını bulmalıyız İşlemin değişme özeliği varsa sadece x?e x şartını kâğıda dökmek yeterlidir
x?e x+e3 x, e x+x+3 3 yani
e 3 bulunur Hemen zıt elemanı bulalım:
4?41 41?4 3 olacak
Önce 41?4 41 + 4 3 3
41 31 2
Daha Sonra 4?41 4 + 41 3 3
41 31 2
4 ' ün tersi 41 2 bulunur
Misal; Aşağıdaki tabloda bahşedilen @ işleminin özeliklerini araştıralım:
Çözüm;
i Operasyon kapalıdır Çünkü işlemin sonuçları betimleme kümesinin elemanlarıdır Yani 0, 1, 2, 3 sayılarıdır
ii İşlemin değişiklik özeliği vardır Çünkü tablo esas köşegene tarafından simetriktir
İşlemin birim elemanı art arda satır ve sütunun kesiştiği elemandır Yani burada 1 dir
iv 2 ve 0 'ın tersi yani 21 ve 01 kaçtır?
2 nin tersini bulmak için tabloda 2 nin bulunduğu satırda birim elemanı yani burada 1 ' i ararız 2 nin satırında 1 yoktur 2 nin tersi yoktur
0 ın tersini bulmak için tabloda 0 ın bulunduğu satırda birim elemanı yani burada 1 ' i ararız 0 ın satırında 1 i bulup yukarı çıkarsak tersini buluruz 0 ın tersi 0 dır

i 2@(3@1) ? işleminin sonucu kaçtır?
Önce parantez içindeki işlemi yapalım: Tablonun satırında önce 3'ü buluruz Daha Sonra sütunda 1'i buluruz İkisinin kesiştiği sayı işlemin sonucudur (3@1) 3 dür Şimdi 2@3 işlemini yapalım Aynı şekilde 2@3 0 bulunur İşlemin sonucu 2@(3@1) 0 bulunur

ALIŞTIRMALAR

1 x@y x2y+2y işlemi doğal sayılar kümesinde tanımlanıyor 2@y 6 ise y ?
2 a¡b a b4 ve x ¤ y 3x + yx işlemleri veriliyor
3¡(4¤2 ) ?
3 x?y 2xy + x2 + y2 işleminin birim elemanı varsa kaçtır?
4 x ve y gerçek sayılar kümesinin elemanıdır x*y x+y+5xy işlemi tanımlanıyor
a) * işlemi değişmelimidir?
b) * işlemine kadar etkisiz eleman nedir?
c) * işlemine göre 4 ’ün tersi kaçtır?
d) * işlemine tarafından hangi reel sayının tersi bulunamaz?
5 Gerçek sayılar kümesinde x&y 2x+2y+xy şeklinde tanımlanan & işleminde hangi elemanın tersi yoktur?
6 R ‘de tanımlı x*y 2xy işlemi için (2*3)*a 0 ise a kaçtır?
7 R
’de tanımlanan ,
x y 3xy2x2y2 işleminin etkisiz eleman nedir ?

8 x y x+2xy+y işlemine kadar 3 ‘ ün tersi kaçtır?
9 Ahali kümesinde hitabe işlemi değişmelimidir?
10 Renkler kümesinde karıştırma işleminin birleşme özeliği varmıdır? Bu işlemin birim elemanı varmıdır? *