Modüler Aritmetik Hakkında Bilgi

Modüler Aritmetiksel Hakkında Veri
Modüler Aritmetiksel ile ilgili dersler Modüler Aritmetik Özellikleri Lys Modüler Aritmetik Dersleri Modüler Aritmetiksel Çözümü


A TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir

A Ì B elde etmek üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili operasyon ya da özetle işlem denir
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gösterilir

B İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun Buna kadar, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim

1 Kapalılık Özelliği

a, b Î A için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi Dişlemine göre kapalıdır

2 Değiştirme Özelliği

a, b Î A için, Ad b bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır

3 Birleşme Özelliği

a, b, c Î A için Isim (bD c) (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme özelliği vardır

4 Bölüm (Etkisiz) Eleman Özelliği

x Î A için, xD e e Dx x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir

e Î A ise,D işlemine tarafından A kümesi bölüm eleman özelliğine sahiptir

5 Zıt Eleman Özelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun

a Î A için, Isim b bD a e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine kadar a nın tersi denir

a nın tersi b ise genel olarak b a–1 şeklinde gösterilir

b Î A ise,D xişlemine kadar A kümesi zıt eleman özelliğine sahiptir

* Birim elemanın tersi kendisine eşittir
* Tersi kendisine eşdeğer olan her eleman birim eleman olmayabilir



6 Dağılma Özelliği

a, b, c Î A için,

a * (bD c) (a * b)D(a* c) ise,

* işlemininDişlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır

(Isim b) * c (a * c)D(b * c) ise,

* işleminin işlemi üzerinde sağdan parçalanma özelliği vardır
* işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, keza de sağdan parçalanma özelliği varsa * işleminin D işlemi üstünde parçalanma özelliği vardır



7 Yutan Eleman Özelliği

x Î A için, xDi y yDx y olacak biçimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir

y Î A ise,D işlemine kadar A kümesi yutan eleman özelliğine sahiptir

Yutan elemanın tersi yoktur Lakin tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir

C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A a, b, c, d kümesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun








Ü b * c nin sonucu bulunurken, açılış sütununda b, başlangıç satırında c bulunur Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b *c nin sonucudur Buna kadar, b * c a dır

Ü Açılış satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yahut A kümesi * işlemine tarafından kapalıdır

Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, * işleminin değişiklik özelliği vardır

Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır

Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında benzer elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir Yer Alan yutan elemandır



D
MATEMATİK SİSTEMLER



1 Tanımlama

A, abes olmayan bir küme elde etmek üzere, * işlemi A da tanımlı olsun

(A, *) ikilisine matematik sistem denir

2 Grup

A ¹ Æ edinmek üzere, A kümesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi* işlemine tarafından bir gruptur

1 A, * işlemine tarafından kapalıdır
2 A üzerinde * işleminin birleşme özelliği vardır
3 A üzerinde * işleminin bölüm (etkisiz) elemanı vardır
4 A üstünde *işlemine tarafından her elemanın tersi vardır

A üstünde tanımlı * işleminin değişme özelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur

3 Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır

1 (A, D) sistemi değişmeli gruptur
2 A kümesi*işlemine göre kapalıdır
3 *işleminin D işlemi üstünde parçalanma özelliği vardır

Ü * işleminin değişiklik özelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır

Ü * işleminin A kümesinde bölüm (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine bölüm halka denir








*