Noktanın Analitik İncelemesi

Noktanın Analitik İncelenmesi

1 Analitik Duzlem Bir duzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik duzlem denir Analitik duzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat duzlemi olarak da adlandırılır
Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), duşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir
Analitik duzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir


P(x, y) noktası icin, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır Apsis ve ordinat değerleri eksenlere cizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır


Orijinin koordinatları O(0,0) dır
x ekseni uzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır A(a, o) noktası gibi y ekseni uzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır B(o, b) noktası gibi

Koordinat eksenleri analitik duzlemi dort bolgeye ayırırlar

I Bolge: x 0
y 0
II Bolge: x 0
y 0
III Bolge: x 0
y 0
IV Bolge: x 0
y 0



2 İki nokta arasındaki uzaklık

a Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık

Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir A(a, c) ve

B(a, b) noktaları icin
|AB| |c – b|

Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir

A(b, a) ve
B(c, a) noktaları icin
|AB| |c – b|



b Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık

Analitik duzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biciminde gosterilir
A ve B noktalarının analitik duzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik ucgeni meydana gelir
AKB dik ucgeninde AB hipotenusdur AK dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve BK dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir
Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;
eşitliği ile bulunabilir

Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez

İki nokta arası uzaklık bulunurken dik ucgenden de yararlanılabilir

İki noktanın ordinatları farkı dik ucgenin bir kenarı, apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır

Dik ucgenin hipotenusu bize iki nokta arası uzaklığı verir

c Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı


3Orta Nokta Koordinatları

Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor AB doğru parcasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise

Koşegenleri birbirini ortalayan dortgenlerde (kare,dikdortgen, paralelkenar, eşkenar dortgen) karşılıklı koşelerin koordinatları toplamları eşittir

ABCD paralelkenar olduğundan AC nin orta noktası, BD nin de orta noktasıdır

Buradan;
x1 + x3 x2 + x4
y1 + y3 y2 + y4


4Belli Oranda Bolen Nokta Koordinatları

Belli oranda bolen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur


A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları icin,eşitliği vardırBelli oranda bolen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir


m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse


n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir


Değişme miktarı artma yada azalma olabilir Onemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yonde hareket etmektir Aynı şeyler ordinatlar icin de gecerlidir


m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse


n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir



5 Ucgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları


ABC ucgeninin koşe koordinatları


A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:


Bu eşitlikler belli oranda bolen nokta ozellikleri kullanılarak elde edilebilir


6 Koşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Ucgenin Alanı


Koşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC ucgeni veriliyor


Koşe koordinatları bilinen ucgenin alanını bulmak icin yukarıda olduğu gibi koşe koordinatları alt alta yazılır İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi carpılır Elde edilen sonuc ikiye bolunerek alan değeri bulunur Alan negatif olamayacağından, sonuc negatifte cıksa pozitif kabul edilir (Mutlak değeri alınır)

Uc koşesinin koordinatları bilinen bir ucgenin alanı, ucgen analitik duzlemde cizilerek de bulunabilir

Koşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise ucgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur Bu durumda ucgenin alanı cizilerek de bulunabilir
Bir ucgenin alanının sıfır cıkması, koşe koordinatları olarak verilen uc noktanın doğrusal uc nokta olduğunu gosterir