Ozdeşlikler ve Carpanlara Ayırma Konu Anlatımı

Ozdeşlikler ve Carpanlara Ayırma Konu Anlatımı





Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un carpımı bicimin
de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir
Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar
Asal polinomlar denir


* P(x) x2 + 4 , Q(x) 3x2 + 1, R(x) 2x – 3 , T(x) x + 7
Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır

P(x) x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur



Tanım : İcindeki değişkenlerin alabileceği her değer icin doğru
olan eşitliklere ozdeşlik denir

* a) x3 (x2 – 2x) x5 – 2x4 b) a2 (x + y)2 a2 x2 + a2 y2 ozdeşlik
c) a2 (x +y)2 a2 x2 + a2 y2 ozdeşlik değildir



ONEMLİ OZDEŞLİKLER



I) Tam Kare Ozdeşliği:
I a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 a2 + 2ab + b2
b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 a2 – 2ab + b2

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin
karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır

c) Uc Terim Toplamının Karesi:
(a + c)2 a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir



II) İki Terim Toplamı veya Farkının Kupu :

a) İki Terim Toplamının Kupu : (a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b) İki Terim Farkının Kupu : (a – b)3 a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Birinci terimin kupu;( ) birincinin karesi ile ikincinin carpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin carpımının 3 katı,( ) ikin
cinin kupu bicimindedir Bu acılımlara Binom Acılımıda denir

Not: Paskal Ucgeni kullanılarak 4,5,6,Dereceden iki terimli
lerin ozdeşliklerini de yazabiliriz



III) İki Kare Farkı Ozdeşliği: (a + b) (a – b) a2 – b2

İki terim toplamı ile farkının carpımı; birincinin karesi ile
ikincinin karesinin farkına eşittir



IV) xn + yn veya xn yn bicimindeki polinomların Ozdeşliği :

i) İki kup Toplam veya Farkı : a3 + b3 (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 (a – b) (a2 + ab + b2)

ii) a4 + b4 (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)
a4 – b4 (a2 + b2) (a + b) (a – b)

iii) a5 + b5 (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)
a5 – b5 (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

iv) a6 + b6 (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)
a6 – b6 (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

v) a7 + b7 (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
a7 – b7 (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)



Ozdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle duzenleyerek kullanabiliriz

1) x2 + y2 (x + y)2 – 2xy

2) x2 + y2 (x – y)2 + 2xy

3) (x – y)2 (x + y)2 – 4xy

4) (x + y)2 (x – y)2 + 4xy

5) x3 – y3 (x – y)3 + 3xy (x – y)

6) x3 + y3 (x + y)3 – 3xy (x + y)

7) x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)


1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların
carpımı kactır?
x2 + y2 (x + y)2 – 2xy 2ab 289 – 145
145 (17)2 – 2ab 2ab 144 ab 72 C 72

2) a – b 6 (a + b)2 (a – b)2 + 4ab (a + b)2 44
a b 2 ( 6 )2 + 42 (a + b)
a + b ? 36 + 8

3) a – 2b 3 ise; a2 + 4b2 ? a2 + 4b2 (a – 2b)2 +2 a2b
a b 2 ( 3 )2 + 2 2 2 17

4) a + b 12 ise; a b ? (a + b)2 (a – b)2 + 4ab 4 ab 108
a – b 6 ( 12 )2 ( 6 )2 + 4ab ab 27

5) ise; x2 + y2 (x – y)2 + 2xy
20
6) ise;
C

7) m + n 8 x3 + y3 (x + y)3 – 3xy(x + y)
m n 1 m3 + n3 (m + n)3 – 3mn (m + n)
m3 + n3 ? ( 8 )3 – 3 1 8 488

8) a3 – b3 50 x3 – y3 (x – y)3 + 3xy(x – y)
a – b 2 ise; a3 – b3 (a – b)3 + 3ab(a – b)
a b ? 50 8 + 6ab 6ab 42 ab 7

9) ise; x3 – y3 (x – y)3 + 3xy(x – y)
( 3 )3 + 31( 3 ) 36
10) ise; x3 + y3 (x + y)3 – 3xy(x + y)
198

11) a + b + c ? a2 + b2 + c2 (a + b + c) – 2(ab + ac + bc)
ab + ac + bc 12 ( 7 )2 – 2 ( 12 )
a2 + b2 + c2 ? 49 – 24 25
12) ise;

15
13) ise; C 120
14) ise; C 63
15) ise; C 154
16) ise; C 75
17) ise; C 999






CARPANLARA AYIRMA KURALLARI



1) Ortak Carpan Parantezine Alarak Carpanlara Ayırma :
Her terimde ortak olarak bulunan carpan, parantez dışına alınır
Her terimin ortak carpana bolumu parantez icine yazılır

1) Aşağıdaki ifadeleri Carpanlarına ayırınız
a) 3a + 3b 3(a + b) b) 5m – 10mn 5m (1 – 2)
c) 12x + 9y 3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 ab (3a – 2b)
e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)
g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x2 (a + b)
ı) x2(p – 3) + ma2 (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)



2) Gruplandırma Yaparak Carpanlara Ayırma :
Butun terimlerde ortak carpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, ucer,
ucer guruplandırılır Gruplar ayrı, ayrı ortak carpanlarına ayrılır


2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b2
c) x4 – 4 + 2x3 – 2x d) 2x2 –3x – 6xy + 9y
e) x3 – x + 1 – x2 f) x4 – x + x3 – 1
g) ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2) h) ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b
ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 – (a2 + b2)



3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Carpanlara Ayırma :
Polinom uc terimli ise, ilk ve son terimin kare koklerinin carpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir
a2 + 2ab + b2 (a + b)2, a2 – 2ab + b2 (a – b)2


3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 – 4abc + c2

4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 – 28m2 +98m c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3



4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Carpanlara Ayırma :
Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kokleri alınıyorsa; Bu
Polinom iki kare farkı biciminde carpanlarına ayrılır
a2 – b2 (a + b) (a – b)


5) a) 25 – 9a2b2 b) x4 – 1 c) (m – n)2 – (m + n)2

6) a) 18x2 – 2y2 b) 2a2b3 – 32b c) 12x3y – 75xy5

7) a) 9a2 – 6a +1 – b2 b) x2 – 12x + 36 – 4y2 c)16m2 – n2 – 6n – 9

d)1 – x2 – 2xy – y2 e) m2 – n2 – 3m + 3n f) a2 – 25b2 – a + 5b

g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2 h) 9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2



5) İki Kup Toplamı Farkı İfadeleri Carpanlara Ayırma:

a3 + b3 (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 (a – b) (a2 + ab + b2)


8) a) a3 + 8 b) 8 – m3 c) x3 + 1 d) 27a3 – 64 e) x3a3 + b3


9) a) 81m3 – 3n3 b) 24x3y – 3y c) 2x + 54x4


10) a) (x +y)3 – 8 b) a3 + 8(a b)3 c) (m – n)3 + 1



6) xn yn bicimindeki polinomları Carpanlara Ayırma:



11) a) x4 + 1 (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)
b) x4 – 1 (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
c) x5 + 25 (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
d) x5 – 1 (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)



7) Bir Terim Ekleyip Cıkararak Carpanlara Ayırma:
Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve cıkarma yolu ile tam kare
ve iki kare farkı şeklinde carpanlara ayırma işlemine benzetilir



12) 4x4 + 7x2 + 4 ifadesini Carpanlarına ayırınız

4x4 + 7x2 + 4 4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2 4x4 + 8x2 + 4– x2
(2x2 + 2)2 – x2
2x2 2 (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)
22x22 8x2 (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)



13) x2 – 6x + 5 ifadesini x ’li terimin kat sayısının yarısının karesini
ekleyipcıkararak carpanlarına ayırınız
x2 – 6x + 5 + 32 – 32 (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 (x – 3)2 – 4
(x – 3 – 2) (x – 3 + 2) (x – 5) (x – 1)


14) a) m2 + 2m – 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4
d) a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1 (Not: b2 yi bir ekleyip cıkar )



8) x2 + bx + c şeklindeki uc terimlileri Carpanlarına Ayırma :
Carpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız
Carpımları (+) ise işaretleri aynı, Carpımları (–) ise işaretleri farklı
Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ buyuğu (+) olur
Toplamları (–) “ “ (–) olur Toplamları (–) “ buyuğu (–) olur


15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 – 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 – 7x + 6
e) x2 + 5x – 6 f) x2 – 5x – 6 g) x2 + x – 6 h) x2 – x – 6
ı) x2 – 7x – 18 i) x4 – x2 – 30 k) m2 – 6m – 27 l) x2 – 3xy – 10y2
m) –x2 – 2x + 3 n) x2 – 13x + 30 o) x2 + 2y2– 3xy




9) ax2 + bx + c şeklindeki uc terimlileri Carpanlarına Ayırma :
ax2 + bx + c (mx + p) (nx + q)
mx p
nx q (mxq + nxq bx oluyorsa)



16) 6x2 + 7x – 3 (3x – 1) (2x + 3) olur
3x – 1 (3x 3 – 1 2x 9x – 2x 7x olduğundan)
2x + 3

17) a) 3x2 – 2x – 8 b) 3x2 – 7x + 2 c) 2m2 + 5mn – 12n2

d) 8a2 – 2ab – b e) 4x2 + 21x + 5 f) 36a2 – 33ab – 20b2

g) 4m2 + 11m – 3 h) 6a2 + 5a – 6 ı) 12a2 – 8ab – 15b2

i) 2m2 – 10m + 12 k) 3x2 + 3x – 18 l) 3 n2 + 30n + 48


18) a2 + 2ab + b2 3 ve c2 + 2ac + 2bc 6 ise; a + b + c ?
c2 + 2ac + 2bc 6 TTT
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 9 (a + b + c)2 9 C


19) 91) x 4 , y 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 ?
a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256
x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 (x – y)5 (4 – 2)5 32

20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10
a + b yerine ab yazılırsa
(a b)2 – 2ab – 24 0 olur a b y diyelim
y2 – 2y – 24 0 y – 6) (y + 4) 0 y 4 ve y 6

21) ise, C 8
olur (ozdeşlikte yerine yazalım )

22) ise; C 36
olur (ozdeşlikte yerine yazalım )

23) ise; C 12
olur (yerine yazalım )

24) işleminin sonucu kactır?
123 153 – 30 ve 183 153 + 30 yazılırsa
153 olur