Özel Üçgenler Nelerdir

Özel Üçgenler
Özel Üçgenler konu anlatımı
Özel Üçgenler nedir


TEPEDE OLAN ÜÇGEN

Bir açısının ölçüsü 90° olan üçgene dikey üçgen denir Dik üçgende 90° nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dikey kenar adı verilir Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır şekilde, m(A) 90°
BC kenarı hipotenüs
AB ve AC kenarları
tepede olan kenarlardır

PİSAGOR BAĞINTISI

Tepede Olan üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir ABC üçgeninde m(A) 90°
a2 b2+c2

ÖZEL DÜŞEY ÜÇGENLER

1 (3 4 5) Üçgeni
Kenar uzunlukları (3 4 5) sayıları veya bunların katı olan tüm üçgenler dikey üçgendir (6 8 10), (9 12 15), … gibi

2 (5 12 13) Üçgeni
Kenar uzunlukları (5 12 13) sayıları ve bunların katı olan tüm üçgenler dikey üçgenlerdir (10 24 26), (15 36 39), … gibi

Kenar uzunlukları 8, 15, 17 sayıları ile orantılı olan üçgenler tepede olan üçgenlerdir
Kenar uzunlukları 7, 24, 25 sayıları ile orantılı olan üçgenler tepede olan üçgenlerdir
3 İkizkenar dikey üçgen
ABC dik üçgen |AB| |BC| a |AC| aÖ2
m(A) m(C) 45° İkizkenar dik üçgende
hipotenüs tepede olan kenarların Ö2 katıdır
4 (30° – 60° – 90°) Üçgeni
ABC eşkenar üçgeni yükseklikle ikiye bölündüğünde
ABH ve ACH (30° 60° 90°)
üçgenleri elde edilir
|AB| |AC| a
|BH| |HC| pisagordan (30° 60° 90°) düşey üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir 60° nin karşısındaki kenar,
30° nin karşısındaki kenarın Ö3 katıdır

5 (30° 30° 120°) Üçgeni (30° 30° 120°) üçgeninde 30° lik açıların karşılarındaki kenarlara a dersek 120° lik açının karşısındaki kenar aÖ3 olur

6 (15° 75° 90°) Üçgeni (15° 75° 90°) üçgeninde
hipotenüse ait tepe |AH| h dersek, hipotenüs
|BC| 4h olur Hipotenüs kendisine ait yüksekliğin dört
katıdır

ÖKLİT BAĞINTILARI

Tepede Olan üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklit bağıntıları kullanılır
1 Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir
h2 pk 2 b2 ka c2 pa 3 ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde

ah bc

Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir

Genelde bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz

İKİZKENAR ÜÇGEN

İkizkenar üçgenin tepecik açısından tabanına çizilen zirve, hem açıortay, keza de kenarortaydır
1 Bir üçgende, açıortay aynı zamanda tepe ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| |AC|
|BH| |HC|
m(B) m(C)

2 Bir üçgende, açıortay bununla beraber kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| |AC|,
AH ^ BC
m(B) m(C)

3 Bir üçgende, boy aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir |AB| |AC|
m(BAH) m(HAC)
m(B) m(C)

İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yüksekliğin aynı olması çoğu yerde karşımıza çıktığından bilinmesi gereken bir özelliktir
4 İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalarda eşdeğer olur
5 İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir
6 İkizkenar üçgende eşdeğer açılara ait açıortaylar da eşittir Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler
7 İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir
|AB| |AC| Þ |LC| |HP| + |KP|
8 İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir

EŞKENAR ÜÇGEN
1 Eşkenar üçgende tüm açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir nA nB nC Va Vb Vc ha hb hc

2 Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek siklet seklik Bu durumda eşkenar üçgenin alanı
doruk cinsinden bölge değeri
Alan(ABC)
3 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;


4 Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir
Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde *