Polinom

Polinomlarla İlgili Esas Kavramlar:



a0, a1, a2, an1, lahza Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) an xn + an1 x n1 + + a1 x + a 0 şeklindeki ifadelere x değişkenine tabi, hakiki katsayılı n'inci dereceden bir polinom denir



1 an xn, lahza1 xn1, , ak xk, , ayx, a0 ifadelerinin tanesi P(x) polinomunun terimleri denir

2 an, lahza1, , a k, , ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir

3 P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve P(x) n biçiminde gösterilir

4 Derecesi en büyük olan anxn terimindeki lahza gerçek sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun değişmez terimi denir

5 P(x) polinomu, terimlerin eksilen derecelerine kadar,

P(x) anxn + lahza1xn1 + + a1x + a 0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin büyüyen derecelerine kadar,

P(x) a0 + a1x + a2x2 + + lahza1x n1 + a nxn biçiminde sıralanır

6 Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma Hakiki Katsayılı Polinomdenir ve hakiki katsayılı polinomlar kümesi R x ile gösterilir



Misal:

P(x) 2x53n +xn2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?



Çözüm:

53n ifadesinin bir doğal rakam olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3'ün bölenleri olmalıdır

3'ün bölenleri ise n 1, n 3, n 1, n 3 Keza n2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gerçekleyen n 3 sayısıdır Buna kadar, P(x) polinomu

P(x) 2x533 + x32 + 4

P(x) 2x4 + x + 4 dür



ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM


P(x, y) x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine tabi hakiki katsayılı bir polinom denir



Bu polinomların derecesi x ve y'nin dereceler toplamının en büyüğüdür

der P(x, y) der P(x) + der P dir



Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y'nin dereceler toplamıdır

Der P(x, y) 4 + 3 7 dir



Örnek

P(x, y) 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3y 5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?



Çözüm:

2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 6

3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 8

x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 5

y5 teriminin derecesi 5

Yukarıda belirtilmiş en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) 8 dir



Örnek

P(x) x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

P(2) ?, P(0) ?, P(1) ?



Çözüm:

P(2) 23 – 322 + 42 – 2

8 – 12 + 8 – 2 2 bulunur

P(0) 03 – 302 + 40 – 2 2 bulunur

P(1) 13 – 312 + 41 – 2

1 – 3 + 4 – 2 0 bulunur





SIFIR POLİNOMU


P(X) anxn + lahza1xn1 + + a2x2 + a 1x + a 0 polinomunda,

lahza lahza1 a1 a0 0 ise; P(x) 0xn + 0x n1 + + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir



Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir



Misal

P(x) (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim



Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

m + 3 0, n – 5 0, t 0 ;

m 3, n 5, t 0 olmalıdır





SABIT POLİNOM


P(x) anxn + an1xn1 + + a1x + a0 polinomunda, a n an1 a1 0 ve a0 ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, değişmez polinom denir



0xn + 0xn1 + + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir

x0 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 şeklinde yazılabilir Buna tarafından, sabit polinomun derecesi 0 dır



Misal P(x) (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun değişmez polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim



Çözüm
P(x) A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 0 ve b 0 olmalıdır Buna tarafından, a 4 ve b 0 dır



İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ


Dereceleri benzer ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir



n dereceden,

A(x) anxn + lahza1xn1 + + a2x2 + a 1x + a 0 ve

B(x) bnxn + bn1xn1 + + b2x2 + b 1x + b 0 polinomları için;

A(x) B(x) Û lahza b n, lahza1 bn1, , a2 b2, a 1, a0 b0 dır



Misal

A(x) 5x3 + (a + 1x2 + d,

B(x) (b 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor A(x) B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım



Çözüm
A(x) 5x3 + (a + 1)x2 + d 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,

B(x) (b – 1)x3 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;

A(x) B(x) Þ 5 b – 1, a + 1 3, 0 (2c – 3), d

b 6, a 4, c , d dir





POLİNOM FONKSİYONLARI


P : R ® R

x ® P(x) anx n + lahza1xn1 + + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir



P : R ® R

x ® P(x) 5x3 + 2x 2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur



Örnek

P(x) x2 + 2x + 1 polinomu için P(X1) polinomunu bulunuz



Çözüm
P(x1)'i bulmak için P(x)'de x yerine x1'i yazalım

P(x1) (x1)2 + 2(x1) + 1

x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 x2

P(x1) x2 olarak bulunur



II: Yol:

Önce P(x) x2 + 2x + 1 (x+1)2 olarak yazıp x yerine x1'i yazalım

P(x1) (x1+1)2 x2 bulunur



Örnek

P(x) polinomu için,

P(x+2) x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna göre P(x) polinomunu bulunuz



Çözüm
P(x+2) x3 2x2 + 4 eşitliğinde

H x + 2 Þ h –2 x'i yerine yazalım

P(h – 2 + 2) (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(h) (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

P(x) (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur





POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI


P(x) anxn + an1xn1 + + a1x + a0 polinomunda x 1 yerine yazılırsa

P(1) an + an1 + + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur

P(x) polinomunda x 0 yerine yazılırsa değişmez terimi bulunur



Misal

P(x) 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz



Çözüm
P(x) de x 1 'i yerine yazalım

P(1) 214 + 513 – 312 + 11

2 + 5 – 3 + 1 – 1 4 bulunur *