Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlar Konu Anlatımı
Polinomlar Konu Anlatımı Lise 2
Polinomlar Konu Anlatımı 10 sınıf

Polinomlar Konu Anlatımı

COK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir

Bu polinomların derecesi x ve y ’nin dereceler toplamının en buyuğudur
der P(x, y) der P(x) + der P dir

Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y ’nin dereceler toplamıdır
Der P(x, y) 4 + 3 7 dir

Ornek
P(x, y) 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3y5 + 1 polinomunun derecesi kactır?

Cozum:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 6
3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 5
y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en buyuk dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) 8 dir

Ornek
P(x) x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
P(2) ?, P(0) ?, P(1) ?

Cozum:
P(2) 23 – 322 + 42 – 2
8 – 12 + 8 – 2 2 bulunur
P(0) 03 – 302 + 40 – 2 2 bulunur
P(1) 13 – 312 + 41 – 2
1 – 3 + 4 – 2 0 bulunur

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar Nelerdir?
a0, a1, a2, an1, an R ve n N olmak uzere, P(x) an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n ’inci dereceden bir polinom denir

1 an xn, an1 xn1, , ak xk, , ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir
2 an, an1, , ak, , ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir
3 P(x) polinomunda anxn terimindeki en buyuk n sayısına polinomun derecesi denir ve P(x) n şeklinde gosterilir
4 Derecesi en buyuk olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir
5 P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine gore,
P(x) anxn + an1xn1 + + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine gore,
P(x) a0 + a1x + a2x2 + + an1xn1 + anxn biciminde sıralanır
6 Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom denir ve reel katsayılı polinomlar kumesi Rx ile gosterilir

Ornek:
P(x) 2x53n +xn2 + 4 ifadesinin bir polinom olması icin n N kac olmalıdır?

Cozum:
53n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun icin n yerine verilecek sayının 3 ’un bolenleri olmalıdır
3 ’un bolenleri ise n 1, n 3, n 1, n 3 Ayrıca n2 0 den n 2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gercekleyen n 3 sayısıdır Buna gore, P(x) polinomu
P(x) 2x533 + x32 + 4
P(x) 2x4 + x + 4 dur

SIFIR POLİNOMU

P(X) anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an an1 a1 a0 0 ise; P(x) 0xn + 0xn1 + + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir

Sıfır polinomu, 0 ile gosterilir Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir

Ornek
P(x) (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması icin; m, n ve t reel sayılarını belirtelim

Cozum
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması icin;
m + 3 0, n – 5 0, t 0 ;
m 3, n 5, t 0 olmalıdır


SABİT POLİNOM

P(x) anxn + an1xn1 + + a1x + a0 polinomunda, an an1 a1 0 ve a0 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir

0xn + 0xn1 + + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gosterilir
x0 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biciminde yazılabilir Buna gore, sabit polinomun derecesi 0 dır

Ornek P(x) (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması icin, a ve b sayılarını belirtelim

Cozum
P(x) A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması icin, a – 4 0 ve b 0 olmalıdır Buna gore, a 4 ve b 0 dır

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir

n dereceden,
A(x) anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) bnxn + bn1xn1 + + b2x2 + b1x + b0 polinomları icin;
A(x) B(x)  an bn, an1 bn1, , a2 b2, a1, a0 b0 dır

Ornek
A(x) 5x3 + (a + 1x2 + d,
B(x) (b 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor A(x) B(x) olması icin; a, b, c ve d yi bulalım

Cozum
A(x) 5x3 + (a + 1)x2 + d 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) (b – 1)x3 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) B(x) 5 b – 1, a + 1 3, 0 (2c – 3), d
b 6, a 4, c , d dir


POLİNOM FONKSİYONLARI

P : R R
x P(x) anxn + an1xn1 + + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir

P : R R
x P(x) 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur

Ornek
P(x) x2 + 2x + 1 polinomu icin P(X1) polinomunu bulunuz

Cozum
P(x1) ’i bulmak icin P(x) ’de x yerine x1 ’i yazalım
P(x1) (x1)2 + 2(x1) + 1
x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 x2
P(x1) x2 olarak bulunur

II: Yol:
Once P(x) x2 + 2x + 1 (x+1)2 olarak yazıp x yerine x1 ’i yazalım
P(x1) (x1+1)2 x2 bulunur

Ornek
P(x) polinomu icin,
P(x+2) x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna gore P(x) polinomunu bulunuz

Cozum
P(x+2) x3 2x2 + 4 eşitliğinde
H x + 2 h –2 x ’i yerine yazalım
P(h – 2 + 2) (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur


POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) anxn + an1xn1 + + a1x + a0 polinomunda x 1 yerine yazılırsa
P(1) an + an1 + + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur
P(x) polinomunda x 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur

Ornek
P(x) 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz

Cozum
P(x) de x 1 ‘i yerine yazalım
P(1) 214 + 513 – 312 + 11
2 + 5 – 3 + 1 – 1 4 bulunur

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir
A(x) + B(x) a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Ornek
P(x) x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz

Cozum
P(x) + Q(x) x3 + (2+3) x2 + (3) + 3) x + 1 + 4
x3 + 5x2 + (33) x + 5 dir

Buna gore iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine gore kapalıdır

1 Polinomlar kumesi, toplama işlemine gore kapalıdır
2 Polinomlar kumesinde toplama işleminin değişme ozelliği vardır
3 Polinomlar kumesinde toplama işleminin birleşme ozelliği vardır
4 Sıfır polinomu, polinomlar kumesinde toplama işlemine gore birim elemanıdır
5 Her polinomun, toplama işlemine gore tersi vardır


İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları icin, P(x) – Q(x) P(x) + (Q(x)) tir
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir

Ornek
A(x) 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve

B(x) 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları icin, A(x) – B(x) farkını bulalım

Cozum
B(x) 5x4 + x3 + 2x2 + ise, B(x) 5x4 x3 – 2x2 dir
A(x) – B(x) A(x) + (B(x))
(5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 x3 –2x2 )
(5 + 5)x4 + ( )x3 + (3 –2)x2 + x + (2 )
10x4 – x3 – 5x2 + x olur
Bu ornekte gorulduğu gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur
Her A(x) ve B(x) polinomları icin, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kumesi, cıkarma işlemine gore kapalıdır

Polinomlarda Carpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun carpımı, A(x) ‘in her terimi B(x) ’in her terimi ile ayrı ayrı carpılarak bulunur
anxn ile bkxk teriminin carpımı
anxn bkxk (an bk) xn+k dir
Yani (5x3) (2x4) 5 (2) x3+4 10x7
Bu carpmaya gore aşağıdaki eşitliği yazabiliriz
Der A(x) B(x) der (A(x)) + der (B(x))

Ornek
A(x) 3x4 + 1, B(x) x2 + x
C(x) x2 – x + 1 polinomları veriliyor
a) A(x) B(x)
b) B(x) C(x) carpımlarını bulunuz

Cozum
a) A(x) B(x) (3x4 + 1) (x2 + x)
3x4 x2 + 3x4 x + x2 + x
3x6 + 3x5 + x2 + x

b) B(x) C(x) (x2 + x) (x2 – x + 1)
x2 x2 – x2 x + x2 1 + x x2 – x x + x 1
x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
x4 + x + 1 bulunur

Polinomlarda carpma işleminin aşağıdaki ozellikleri vardır

1 Kapalılık (iki polinomun carpımı yine bir polinomdur
2 Değişme ozelliği vardır
3 Birleşme ozelliği vardır
4 Carpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) 1 sabit polinomudur
5 Polinomlar kumesinde carpma işlemine gore bazı polinomların tersi yoktur
Yani P(x) x2 polinomunun tersi 1x2 ifadesi polinom değildir
6 Polinomlar kumesinde carpma işleminin toplama işlemi uzerine dağılma ozelliği vardır
A(x) (B(x) + C(x)) A(x) B(x) + A(x) C(x)


Polinomlar Halkası

Toplama ve carpma işleminin ozelliklerinden gorulduğu gibi Rx polinomlar kumesi;
1 (Rx,+) sistemi değişmeli gruptur
2 Rx kumesi carpma işlemine gore kapalı ve carpma işleminin birleşme ozelliği vardır
3 Rx kumesinde carpma işleminin toplama işlemi uzerinde dağılma ozelliği vardır
O halde (Rx, + , ) sistemi bir halkadır Buna polinomlar halkası denir


Polinomlarda Bolme İşlemi

A(x) polinomunun B(x) polinomuna bolumu

A(x) B(x)
T(x)



R(x)

Burada A(x) B(x) T(x) + R(x) şeklinde yazılır
Bu bolme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir

1 Polinomlar azalan kuvvetlerine gore sıralanmalıdır
2 Bolunen polinomun derecesi bolen polinomun derecesinden buyuk olmalıdır
DerB(x) derA(x)

3 Kalanın derecesi bolenin derecesinden kucuk olmalıdır
Der R(x) der B(x)

4 R(x) 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bolunuyor denir
5 der A(x) der B(x) + der T(x)

der der A(x) – der B(x) dir


Ornek
P(x) x42x2 + x 5 polinomunu
Q(x) x2 + 3x – 1 polinomuna bolelim

x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
x2
x2 3x + 8

± x4 ± 3x3 ± x2 3x

3x3 – x2 + x + 5 8
±3x3 ± 9x2 ±3x

8x2 – 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8

26x + 13

Bolum : x2 – 3x + 8
Kalan : 26x + 13


Horner Metodu

Bolen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların carpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir

Ornek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bolelim

Cozum
1 Bolunen polinomun katsayıları x ’in azalan kuvvetlerine gore sıralanır
2 Bolumun derecesi bolunenin derecesinden kucuk olacağı icin bolumde x3 ’un katsayısı 0 olur
3 p katsayısı aşağıya aynen yazılır
4 a, p ile carpılır, q ’nun altına yazılarak toplanır Ap + q olarak yazılır

Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir
px3 + qx2 + rx + s, x – a 0 ise x a

Ornek
P(x) x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2 ’ye bolunduğunde bolum ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz

Cozum
P(x) ’in katsayılarını belirleyip tabloda gosterelim Ayrıca x –2 0 x 2 ‘yi yerine yazalım

Bolumun Katsayıları Kalan


1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18

Bolumun Katsayıları Kalan

Bolum B(x) x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) 18 bulunur




Bolme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma

Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bolunmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bolunmesinden elde edilecek bolum Q(x) ve kalan k olsun (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır P(x) (x – a) Q (x) + k eşitliği her x icin gecerlidir Burada, x yerine a yazarsak P(a) 0Q(a) + k P(a) k bulunur

Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bolunmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir O halde, bir polinomun (x – a) ile bolunmesinden kalanı bulmak icin (x – a 0 x a olur) polinomda x yerine a değeri yazılır

Ornek
P(x) x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bolunmesinden elde edilen kalanı bulunuz

Cozum
X – 2 0 x 2 dir Bulacağımız kalan P(2) olacaktır Oyleyse, P(2) 22 – 3 2 + 21 19 olur

Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bolunmesinden Elde Edilen Kalan
Bolen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur Bolen olarak (ax + b) polinomunu alalım Bu durumda P(x) (ax + b) Q (x) + k yazılır
Ax + b 0 x olur Polinomda x yerine yazılırsa P( ) k bulunur O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bolunmesinden kalanı bulmak icin polinomda x yerine yazılır

Ornek
P(x) x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bolunmesinden kalanı bulunuz

Cozum
P ( ) 4 + 1 2 + 1 olur

Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bolunmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bolunmesinden elde edilen kalanı bulmak icin polinomda x2 yerine –a yazılır
P(x) polinomunun x3 + a ile bolunmesinden elde edilen kalanı bulmak icin polinomda x3 yerine –a yazılır
P(x) polinomunun x4 + a ile bolunmesinden elde edilen kalanı bulmak icin polinomda x4 yerine –a yazılır

Ornek
P(x) x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bolunmesinden kalanı bulunuz

Cozum
İstenen kalanı bulmak icin (x2 + 2 0  x2 2) polinomda x2 yerine –2 yazarız
P(x) x2 x2 – x2 x + x2 + 7x – 1 olur
Kalan : (2) ( 2) – (2) x – 2 + 7x – 1 4 + 2x + 7x – 3 9x + 1 bulunur

Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bolunmesinden Elde Edilen Bolum ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) (x – b) ile bolunmesini Horner yontemi ile yapabiliriz Verilen P(x) polinomu once (x – a) ile bolunur, sonra elde edilen bolum (x – b) ile bolunur

Ornek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bolunmesinden kalanı bulunuz

Cozum
(x + 3) (x – 2) polinomu 2 dereceden olduğuna gore, kalan polinom en fazla 1 derecedendir Kalan polinom K(x) ax + b bicimindedir Bolum ozdeşliği yazılırsa,
P(x) (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biciminde olur
P(3) 5 ve P(2) 4 olduğu veriliyor
P(3) (3 + 3) (3 –2) B (3) –3a P(3) 3a + b
P(2) (2 + 3) (2 – 2) B(2) + ‘a P(2) 2a olur

3a + b 5
2a + b 4
denklem sistemi cozulurse, a ve b olur Buradan, K(x) x + bulunur

Ornek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bolunmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bolunmesinden kalanı bulunuz

Cozum
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak icin polinomda x yerine 1 yazılır P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır Burada, P(1) 7 veriliyor Diğer taraftan kalan, en fazla 2 dereceden ax2 + bx + c biciminde olur Bolmenin ozdeşliği yazılırsa;
P(x) (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur Polinomda,
x 1 icin P(19 (1 + 2) (1 – 1) B(1) + a + b + c a + b + c 7 ve
x2 2 yazılırsa, 2a + bx + c 2x + 6 olur
bx + c – 2a 2x + 6 b 2 ve c2a 6 olur Ayrıca, b 2 ise a + b + c 7 den
a – 2 + c 7 a + c 9 dur
c 2a 6
a + c 9
Sistemi cozulurse, a 1, c 8 bulunur Oyleyse, K(x) x2 – 2x + 8 olur


Alıntıdır