Rasyonel sayılar ile tam sayıların farkları ve ortak yönleri nelerdir?

Rasyonel sayılar ile bütün sayıların farkları ve karşılıklı yönleri nelerdir?

Akılcı sayılar ile tam sayıların Farkları ve Iki Taraflı Yönleri

1RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
lA)Mantıklı Sayılar:Birbirine eşit olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel rakam denirMantıklı sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi denirMantıklı sayılar kümesi “Q ile gösterilir

NOT:Her bütün sayı akla yatkin sayı olarak yazılabilir
ÖR:
Yan şekilde,bir bütün 4 benzeşen parçaya
bölünmüş ve bu benzer paçalardan üç parça başına taranmıştır

3
4

Taralı alan,bütünün üç tane parçası(kesri)dirBu parçaları gösteren kesir, 3 biçiminde gösterilir
4
3 kesrinde; 3 ’e pay,4 ’e payda denir: 3 kesri, “üç bölü dört veya “dörtte üç diye okunur

NOTıfırdan büyük olan mantikli sayılara fazla akla yatkin sayılar, sıfırdan küçük mantikli sayılar da negatif akilci sayılar denir

Pozitif akla yatkin sayılar kümesi “Q+ile gösterilir Olumsuz akilci sayılar kümesiQ“ile gösterilir


Q Q U 0 U Q+








1
B)Akla Yatkın Sayıları Karşılaştırma (cömertlik ,küçüklük)
1Paydaları eşit olan mantikli sayılar:
Paydaları eşit olan fazla akla yatkin sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı minik olan daha küçüktür

ÖR: 15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20

Paydaları eşdeğer olan olumsuz mantikli sayılar pozitifin bütün tersidirPayı büyük olan olumsuz rasyonel sayılar küçük,payı ufak olan negatif mantikli sayılar büyüktür
ÖR: 15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20

2Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşdeğer olan fazla akla yatkin sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür

ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9

Payları eşit olan negatif akilci sayılar pozitifin bütün tersidirPaydası büyük olan negatif mantikli sayılar büyük paydası minik olan olumsuz akla yatkin sayılar küçüktür

ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 9 5 3

3Payı ve paydaları öbür olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları ayrı olan akla yatkin sayılarda pay paydaya bölünerek yatırma yapılır
ÖR: 18 , 7 , 48 18:3 6 48 7 18
3 4 57 7:4 1,75 57 4 3
48:57 0,84


2



Arada olma
İki akla yatkin sayı arasına bir yada birkaç akilci sayı yerleştirmeye denir
ÖR: 2 ile 4
3 5

IYOL: 2 4 II:YOL:2 4 IIIYOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2

1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30


ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12

1 29 29
2 12 24

5 29 7
4 24 6
Cİrrasyonel sayılar:
Rakam açıkçası üzerinde görüntüsü olmasına rağmen,akla yatkin olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denirİrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir
Reel (reel) sayılar kümesi:Akılcı sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine reel (reel) sayılar kümesi denirGerçek
sayılar kümesi ,rakam ekseninin her noktasını doldururRakam açıkçası üstünde her noktaya bir reel sayı her reel sayıya da bir nokta karşılık gelir
Hakiki sayılar kümesi,R sembolü ile gösterilir
3


2RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

a)Benzer işaretli iki rasyonel sayının birleştirme işlemi
Aynı işaretli iki akla yatkin sayının birleştirme işlemi yapılırken ,akilci sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenirPayların mutlak değerleri toplamı paya yazılırKarşılıklı payda,paydaya yazılırtoplananların ortak işareti,toplama ,göze çarpan olarak verilir

Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır

ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
5 1 5 35 3 5

b)Ters işaretli iki akilci sayının toplama işlemi
Zıt işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, mantikli sayıların paydaları eşdeğer değilse eşitlenirpayların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılırKarşılıklı payda ,paydaya yazılırtoplam olan akla yatkin sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir

ÖR: 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60


+20+2415)
60

+4415)
60

29
60




4
3RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

a)Kapalılık özelliği:İki akilci sayının toplamı , tekrar bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine kadar kapalıdır

ÖR: 2 + 2 4 +2 2
3 6 6 6 6

b)Değişiklik özelliği:Akla Yatkın sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır

ÖR: 4 +1 8 +7 1
7 2 14 14 14

+1 4 +7 8 1
2 7 14 14 14

4 +1 +1 4
7 2 2 7

c)Birleşme özelliği:mantikli sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır

ÖR: 4 3 1 4 4 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 7 1 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 4 3 1
5 5 5 5 5 5





5
d)Etkisiz (bölüm) eleman özelliği:0tam sayısına,akilci sayılar kümesinde birleştirme işleminin etkisiz (birim )elemanı denir
ÖR: 7 7 7 7
9 9 9 9

buna tarafından;

7 7
9 9


e)Zıt eleman özelliği:Toplamları “0tam sayısına eşit olan iki akla yatkin sayıya toplama işlemine tarafından birbirinin tersi denir

ÖR: +5 5
20 20

5 +5
20 20

4AKILCI SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
İki akilci sayının farkı bulunurken,azalan akilci rakam,meydana çıkan akilci sayının birleştirme işlemine göre tersi ile toplanır

ÖR: +3 +1 +3 1 +18 5 +13
5 6 5 6 30 30 30



ÖR: +7 +5 +7 +25
10 2 10 10

+7 25 18
10 10 10



6

Yukarıda bahşedilen örneğe tarafından iki akla yatkin sayının farkı,yine bir akilci sayıdırBuna kadar ;
Rasyonel sayılar kümesi sonuç işlemine kadar kapalıdır

5AKILCI SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır

NOT:Benzer işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , zıt işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir mantikli sayıdır
Yani:
+ x + +
x +
x +
+ x


ÖR: 4 +3 (4)x(+3) 12
1 4 1 x 4 4

NOT:Bütün sayılı kesir biçminde verilen mantikli sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilirSonra çarpma işlemi yapılır


6AKILCI SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:
İki rasyonel sayının çarpımı tekrar bir rasyonel sayıdırYani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine kadar kapalıdır

ÖR: +3 2 6
4 3 12



7
b)Değişme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişiklik özelliği vardır

ÖR: 19 1 +19
20 3 60

1 19 19
3 20 60



c)Birleşme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değiştirme özelliği vardır
ÖR: +3 2 +1 6 +1 6
1 3 5 3 5 15

+3 2 +1 +3 2 6
1 3 5 1 15 15


d)Yutan eleman:
Bir mantikli sayının “0sayısı ile çarpımı “0dır0sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir

ÖR: 7 7
9 9

e)Etkisiz bölüm eleman:
+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (bölüm) eleman denir

ÖR: +4 +4 +4 +4
3 3 3 3


8
f)Zıt eleman:
Çarpımları +1 olan iki mantikli sayıya çarpma işlemine kadar tersi denir

ÖR: +2 +3 2 x 3 +1
3 2 3 x 2 1

g)Çarpma işleminin birleştirme işlemi üstüne dağılma özelliği:
Akılcı sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine parçalanma özelliği vardır

ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3
2 4 4 2 4 8

+1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
2 4 4 2 4 2 4

+2 1 +3
8 8 8

h)Çarpma işleminin tümdengelim işlemi üzerine parçalanma özelliği:
Akla Yatkın sayılar kümesinde , çarpma işleminin sonuç işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
ÖR: 1 2 1 1 1 1
2 4 4 2 4 8

1 2 1 1 2 1 1
2 4 4 2 4 2 4

2 1
8 8

1
8



9
7RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
İki mantikli sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene akla yatkin rakam , bölen mantikli sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılırElde edilen çarpım bölümü verir
NOT:Aynı işaretli iki mantikli sayının bölümü pozitif;ters işaretli fakat akla yatkin sayının bölümü ise negatif bir akla yatkin sayıdır

Yani: + x + +
x +
x +
+ x


ÖR: 3 +2 3 +4 3
4 4 4 2 2



+1 tam sayısının , bir mantikli sayıya bölünmesinden elde edilen birim,bölen akla yatkin sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir

ÖR: 2 1 7 7
7 1 2 2


(1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen akilci sayının çarpma işlemine tarafından tersinin zıt işaretlisine eşittir

ÖR: 12 +17 17
17 12 12






10
Bir akla yatkin sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen birim , akilci sayının kendisine eşittir


Bir akla yatkin sayının,(1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
bölüm , bölünen akilci sayının birleştirme işlemine kadar aksine eşittir

ÖR: 2 2 1 2 1 2
7 7 1 7 1 7

ÖR: 2 2 1 2 1 2
7 7 1 7 1 7


NOT:Sıfır sayısının , sıfırdan öbür olan her rasyonel sayıya bölümü 0 dır


Bir akilci sayının sıfıra bölümü taımsızdır
Mantıklı sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; bölünen bölen x birim ilişkisi vardır

NOT:Mantıklı sayılar kümesi , bölme işlemine kadar kapalıdır

ANEKDOT:Mantıklı sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur

NOT:Akla Yatkın sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur

AKILCI SAYILARLA ARITMETIK İŞLEMLER

KESİR

a ve b birer tamsayı ve b sıfırdan ayrı edinmek üzere, ab şeklindeki ifadelere kesir adı verilir Burada a' ya kesrin payı, b' ye de kesrin paydası denir Bir başka deyişle, kesir bir bütünün eşit parçalarından birini ve birkaçını bildiren sayıdır Kesrin paydası, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü belirtirken, kesrin payı da bu eşdeğer parçalardan kaç tane alındığını gösterir Mesela, 25 kesri, bir bütünün 5 eşdeğer parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan 2 parçanın alındığını açıklama eder

DENK KESİRLER

a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı almak üzere, ab ile cd birer kesir ve ad bc ise, ab ile cd kesirlerine denk kesirler denir Örneğin, 35 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:
35, 610, 915, 1220, 1525, , 3m5m,
Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan bambaşka bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez Bir kesrin payı ve paydası, benzer rakam ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:

Belki bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle misal verebiliriz:


BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal rakam ve b sıfırdan ayrı elde etmek üzere, ab şeklindeki ifadelere, sıradan kesir denir Basmakalıp kesirler üçe ayrılır:

1 Basit Kesirler:
Payı, paydasından küçük olan basmakalıp kesirlerdir Örneğin,
23, 35, 47, 12, 910, 13, 27, 1015,
şeklindeki basmakalıp kesirlerin hepsi, basit kesirdir bununla beraber, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir Burada, 12 ile 13 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir

2 Bileşik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan banal kesirlerdir Mesela,
32, 53, 74, 2, 109, 3, 72, 1510, 1212,
şeklindeki basmakalıp kesirlerin tümü, bileşik kesirdir Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür

3 Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b c ve a sıfırdan öbür elde etmek üzere,

biçiminde gösterilen kesirlerdir Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan bambaşka bir doğal rakam ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir Örneğin,

kesri, tamsayılı bir kesirdir Buradan, bir tamsayılı kesrin, alaşım kesir biçiminde yazılabileceğini görürüz Benzer şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, birim tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır Mesela, 115 alaşım kesrini gözönüne alalım 11, 5' e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan,

biçiminde yazabiliriz
Anekdot: Kesirler, eksili (olumsuz) de olabilirler

Örnek:

kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane layık alır?

Çözüm:
Bir kesrin kolay bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir Dolayısıyla, 2x 3 12 olması gerekir x' i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,
2x 12 + 3
2x 15
x 152
bulunur x doğal rakam olduğuna tarafından, 152' den minik doğal sayılar,
x 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7
dir böylece, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir kolay kesir olur *