Üçgenlerde Benzerlik Kuralları

Üçgenlerde Benzerlik Kuralları,
Üçgenlerde Benzerlik ,


1 Aynı Üçgenler
Karşılıklı açıları benzeyen ve müşterek kenarları orantılı olan üçgenlere aynı üçgenler denir


ABC ve DEF üçgenleri için;
oranı yazılır
Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir
eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir

*
k 1 olan benzer üçgenlerde ortak kenarlar eşdeğer olduğundan, bu üçgenlere benzeşen üçgenler denir

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken benzer açıların sıralanmasına dikkat edilir

2 Açı Açı Benzerlik Teoremi
Müşterek ikişer açıları benzer olan üçgenler benzerdir

şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları benzer olduğundan, üçüncü açıları da eş almak zorundadır Dolayısıyla bu iki üçgen aynı üçgenlerdir
m(C) m(F)


3 Kenar Açı Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin iki taraflı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu ortak açılar eş ise, üçgenler benzerdir


ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir
BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir

4 Kenar Kenar Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı tüm kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir
m(A) m(D),
m(B) m(E),
m(C) m(F)

5 Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde DE BC ise yöndeş açılar benzeşen
olacağından ADE ~ ABC dir

* Yük merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 bölüm oranında böler ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve KL BC
|AK| 2|KB|
|AL| 2|LC|


6 Tales Teoremi
Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda
bölerler d1 d2 d3 doğruları için
Buradan de elde edilir

* AB DE ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur Buradan,
eşitliği elde edilir Buna kelebek benzerliği de denir

7 Benzerlik Özellikleri
Aynı üçgenlerin açıları iki taraflı olarak benzeyen, öteki bütün elemanları orantılıdır
ABC ~ DEF Û
Burada k ya benzerlik oranı denir
a Aynı üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir

b Aynı üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenarortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir

c Benzer üçgenlerde benzer açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir

d Aynı üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir

e ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun

f Alanlar oranı
Aynı üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir


g Benzerlik oranı k 1 olan üçgenler benzeşen üçgenlerdir

* Kenarları eşdeğer kesik kesik paralellerle ayrılmış olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 … gibi tek sayılarla orantılı olarak artar

* AB EF DC benzerlik özelliklerinden,


|AB||FC| |DC||BF|



8 Özel Teoremler
a Menelaüs
ABC üçgeni KM dürüst parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise

b Seva
ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için, *